高考数学专题03 排队问题（解析版）

专题03排队问题例1．一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（       ）A．144 B．216 C．288 D．432【答案】D【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①2名小学生夹在两名高中生之间，②2名小学生没有夹在两名高中生之间，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①2名小学生夹在两名高中生之间，有种站法，②2名小学生没有夹在两名高中生之间，有种站法，则有种不同的站法，故选：D．例2．现有2个红球､2个黄球､3个白球，3个黑球，同色球不加区分，将这10个球排成一列，有多少种不同的方法（       ）A．24000 B．25200C．25600 D．26540【答案】B【解析】【分析】先从个位置中选个排红球，再从余下的个位置中选个排黄球，然后从余下的个位置中选个排白球，最后三个位置排黑球，由分步乘法计算原理即可求解.【详解】第一步：从个位置中选个排红球有种方法；第二步：从余下的个位置中选个排黄球有种方法；第三步：从余下的个位置中选个排白球有种方法；剩下的三个位置排黑球有，由分布乘法计数原理可得：共有种，故选：B.例3．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为，若，，，且，则不同的排列方法种数为（       ）A．15种 B．30种 C．45种 D．60种【答案】B【解析】【分析】先排，当，，，求出这3种情况下的结果数；再排，求出结果数，根据分步计数原理可得结果【详解】解：由题意可知分两步：（1）先排，当时，或有2种，当时，或有2种，当时，有1种，共5种；（2）再排，共有种，所以不同的排列方法种数为种，故选：B例4．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（       ）A．288种 B．144种 C．72种 D．36种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.根据分步计数原理，共有种不同排法.故选：B【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.例5．将，，，，排成一列，要求，，在排列中顺序为“，，”或“，，”（可以不相邻），则这样的排列数有（       ）A．24种 B．40种 C．60种 D．80种【答案】B【解析】【分析】先求出全排列的情况，再计算满足条件的排法.【详解】五个元素的全排列数为，由于要求，，在排列中顺序为“，，”或“，，”2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B.【点睛】本题考查满足约束条件的排列种类的求法，属于基础题.例6．5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（       ）A．18种 B．36种 C．48种 D．54种【答案】D【解析】【分析】分类讨论，分别考虑甲在第一位，第二位、第三位、第四位对应情况即可【详解】若甲排在第一位，则乙可能排在第三、四五位，有3种情况，其余三人全排列，共有种；若甲排在第二三四位中的一位，乙都有2种选法，其余三人全排列，则共有种；综上所述，共有54种排列方式故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的应用，属于基础题例7．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有A．5种 B．10种C．20种 D．120种【答案】B【解析】【分析】根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.【详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.【点睛】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.例8．计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一列,要求同一品种挂在一起,水彩画不在两端,那么不同的排列方式有（     ）种A．A B．AAC．AA D．AA【答案】D【解析】【详解】因为同一品种挂在一起,所以4幅油画全排列：，5幅国画全排列，水彩画不在两端,所以将油画和国画排在水彩画两边.不同的排列方式有.故选D.点睛：本题考查了元素的排列问题，可以选用捆绑法和插空法来求解问题，如(1)中两个元素要排在一起，那么就选用捆绑法，然后将其作为一个整体进行全排列，(2)中三个元素不在一起而且存在前后关系，所以采用插空法，选择后排入即可.例9．字母排成一列，其中和相邻且在的前面，共有排列方法种数为（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】把和看做是一个字母，和其他四个字母作一个排列，共有排法,故选A.例10．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为A．18 B．30 C．36 D．48【答案】B【解析】【详解】分两步：（1）先排时，有种；时，有种；时，有种；共有种；（2）再排共有种，故不同的排列方法为，故选B.例11．计算机通常使用若干个数字0和1排成一列来表示一个物理信号，现有4个“0”和4个“1”排成一列，那么用这8个数字排成一列能表示的物理信号的个数是A．140 B．110 C．70 D．60【答案】C【解析】【详解】由题意,用这个数字排成一列能表示的物理信号的个数是，故选C.例12．有个球，其中个一样的黑球，红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，则所有不同的排法种数是A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】试题分析：分为两种情况，（1）当4个球颜色都不同时，排列种数是,（2）当4个球包含2个黑球时，那么需在红，白，蓝球中选2个，排法种是,,故选B.考点：排列组合例13．将排成一列，要求在排列中顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排列数有A．12种 B．20种 C．40种 D．60种【答案】C【解析】【详解】例14．把1，2､3､4､5､6､7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有___________；【答案】62【解析】【分析】从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列个数，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列个数，以此类推，对所求的结果求和，即可求解．【详解】解：从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有个，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有个，••••••，故满足条件的总个数为个．故答案为：62．例15．从甲､乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是___________.【答案】48【解析】【分析】利用排除法，将所有情况减去甲在排头的排法种数即得解【详解】从甲､乙等5个人中选出3人排成一列的所有情况为：甲在排头的排法种数是：因此：甲不在排头的排法种数是故答案为：48例16．在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为________个（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，②在3个不同的白球中任取1个，③将选出的2个红球与白球全排列，有分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，有种情况，②在3个不同的白球中任取1个，有种选法，③将选出的2个红球与白球全排列，有种情况，则有种不同的排列，故答案为：36．例17．石家庄市疫情期间，全国各地援石医疗队不顾危险，不畏艰辛，穿梭在城市、乡村的大街小巷，争分夺秒救助患者，充分体现了对党和人民高度负责的使命担当，展现了顽强拼搏的斗志、甘于奉献的精神．抗疫任务完成后，石家庄交警列队礼送、铁骑引领、警车护航、敬礼致敬，以“最高礼遇、最深敬意、最佳形象”送行支援队伍.7辆医护人员所乘车辆排成一列，若排在最前面的必须是甲车或乙车，丙车不在最后面，则该7辆车不同的排列方法共有_______种．【答案】1200【解析】【分析】先排最前面的车辆，然后排最后面的车辆，然后排中间的5辆车即可求出.【详解】先排最前面的车辆，然后排最后面的车辆，然后排中间的5辆车，则这7辆车不同的排列方法共有种．故答案为：1200.例18．小昶想将两个黑球，三个红球，四个白球排成一列，并且第一个球不是黑球，则不同排法共有_______种．（注：所有球都需要用到）【答案】980【解析】先排第一个位置，有两种方法红球或白球，后面8个位置选两个放黑球，然后根据第一个位置所放球的颜色，确定剩下6个位置，选几个放白球，即可得．【详解】若第一个球是红的，则有种排法，若第一个球是白的，则有种排法故不同排法有种．故答案为：980．【点睛】本题考查组合的应用，考查分类分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，然后计数．例19．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是_________．【答案】【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：由题意，若排列中属性相克的两种物质不相邻，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性，第二位排定后，其他三种属性也确定，∴事件包含的基本事件数为，事件“将五种不同属性的物质任意排成一列”包含的基本事件数为，∴事件的概率，故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，考查排列与组合的应用，属于基础题．例20．5本不同的杂志和2本相同的幼儿漫画书排成一列，幼儿漫画书不排在一起也不排在头、尾，则不同的排法有________种．（用数字作答）【答案】720【解析】【分析】首先把5本不同的杂志排列，然后把2本相同的幼儿漫画书插进中间的4个空中，根据分步乘法计数原理,即可得到答案；【详解】首先把5本不同的杂志排列，共有种排法，然后把2本相同的幼儿漫画书插进中间的4个空中，共有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法．故答案为：720.【点睛】本题考查排列、组合计数原理的应用，考查运算求解能力，求解时注意分类讨论思想的应用.例21．有一堆大小和形状完全相同的红球、蓝球，从中选7个球排成一列，要求相邻两个球不都为红球，共有_____种不同的排列方法．（用数字作答）【答案】34【解析】【分析】根据题意，可得红球的个数可能为0，1，2，3，4，再分类讨论，利用插空法即可.【详解】由题意，得红球的个数可能为0，1，2，3，4，当红球个数为0时，有1种排列方法；当红球个数为1时，有种排列方法；当红球个数为2时，有种排列方法；当红球个数为3时，有种排列方法；当红球个数为4时，有1种排列方法.综上所述，不同的排列方法共有．故答案为：.【点睛】本题考查计数原理，根据题意合