高考数学专题09 间接法模型(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 14页 · 202.9 K

专题09间接模型例1.将7个人从左到右排成一排,若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻,且甲不站在最右端,则不同的站法有(       ).A.1860种 B.3696种 C.3600种 D.3648种【答案】D【解析】【分析】采用间接法,先求出没有限制的所有站法,再排除不满足条件的站法可求解.【详解】7个人从左到右排成一排,共有种不同的站法,其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法,甲站在最右端有种不同的站法,甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法,故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻,且甲不站在最右端,不同的站法有种不同的站法.故选:D例2.“烂漫的山花中,我们发现你.自然击你以风雪,你报之以歌唱.命运置你于危崖,你馈人间以芬芳.不惧碾作尘,无意苦争春,以怒放的生命,向世界表达倔强.你是岸畔的桂,雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词,她用实际行动奉献社会,不求回报,只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响,有大量志愿者到乡村学校支教,现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动,要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下两个学校各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有(       )A.156种 B.168种 C.172种 D.180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意,设剩下的2个学校为丙学校和丁学校,先计算小李和小王不受限制的排法数目:先在6位志愿者中任选1个,安排到甲学校,有种情况,再在剩下的5个志愿者中任选1个,安排到乙学校,有种情况,最后将剩下的4个志愿者平均分成2组,全排列后安排到剩下的2个学校,有种情况,则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种,若小李和小王在一起,则两人去丙学校或丁学校,有2种情况,在剩下的4位志愿者中任选1个,安排到甲学校,有种情况,再在剩下的3个志愿者中任选1个,安排到乙学校,有种情况,最后2个安排到剩下的学校,有1种情况,则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选:A例3.某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师,派到3个不同的乡村支教,要求这3名教师中男女都有,则不同的选派方案共有(       )种A.9 B.36 C.54 D.108【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师,派到3个不同的乡村支教,不同的选派方案有种,选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种,所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选:C例4.某班开展“学党史,感党恩”演讲活动,安排四个演讲小组在班会上按次序演讲,则A组不是第一个演讲的方法数为(       )A.13 B.14 C.15 D.18【答案】D【解析】【分析】利用排除法,先计算A组是第一个演讲的方法数即得解【详解】由题意,安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况其中A组是第一个演讲的方法数为故A组不是第一个演讲的方法数为故选:D例5.某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教,若甲、乙、丙三位教师至少一人被选中,则组队支教的不同方式共有(       )A.21种 B.231种 C.238种 D.252种【答案】B【解析】【分析】利用间接法求解,先求出任选5人的选法再减去甲乙丙三人都不被选的选法即可得解.【详解】10人中选5人有种选法,其中,甲、乙、丙三位教师均不选的选法有种,则甲、乙、丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.故选:B例6.公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是:,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为(       )A.720 B.1440 C.2280 D.4080【答案】C【解析】【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.【详解】一共有7个数字,且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列,可以得到个不同的数字.当前两位数字为11或12时,得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时,共可以得到个不同的数字,则大于3.14的不同数字的个数为故选:C例7.中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”两次不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有(   )A.408种 B.240种 C.1092种. D.120种【答案】A【解析】【分析】根据给定条件先求出“射”不在第一次的“六艺”讲座不同的次序数,去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的“六艺”讲座不同的次序数即可得解.【详解】每周安排一次,共讲六次的“六艺”讲座活动,“射”不在第一次的不同次序数为,其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为,于是得,所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.故选:A【点睛】思路点睛:含有两个限制条件的排列问题,利用排除法,先让一个条件被满足,再去掉这个条件满足时另一个条件不满足的所有可能即可解决问题.例8.红五月,某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光,伟大梦想”联欢会,经过初赛,共有6个节目进入决赛,其中2个歌舞类节目,2个小品类节目,1个朗诵类节目,1个戏曲类节目.演出时要求同类节目不能相邻,则演出顺序的排法总数是(       )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以用间接法,先计算出所有演出方案,减去歌舞类相邻、小品类相邻种数,再加上歌舞与小品均相邻的种数可得答案.【详解】所有演出方案有种,歌舞类相邻有种,小品类相邻有种,歌舞与小品均相邻有种,所以总数有种.故选:C.例9.位男生和位女生共位同学站成一排,若男生甲不站两端,位女生中有且仅有两位女生相邻,则不同排法的种类数是(       ).A.B.C.D.【答案】B【解析】根据位女生中有且仅有两位女生相邻,选出两个女生在一起,用位男生当隔板,与剩下的女生分离,再减去位女生中有且仅有两位女生相邻且男生甲站两端的种数即可.【详解】先考虑位女生中有且仅有两位女生相邻,选出两个女生在一起,再与剩下的女生分离,注意两个女生的内部排列,用位男生当隔板,有四个空,共有种可能,再考虑位女生中有且仅有两位女生相邻且男生甲站两端,男生甲站左端有种可能,男生甲站右端有种可能,即若男生甲不站两端,位女生中有且仅有两位女生相邻,有种可能,故选:B.例10.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为(       )A.72 B.324 C.648 D.1296【答案】D【解析】【分析】先排2艘攻击型核潜艇,再利用间接法排驱逐舰和护卫舰,最后根据分步乘法计数原理可求舰艇分配方案的方法数.【详解】第一步:排2艘核潜艇,方法数为;第二步:排3艘驱逐舰和3艘护卫舰,方法数为,所以舰艇分配方案的方法数为:,故选:D.例11.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发,为了打赢疫情防控阻击战,我省某医院呼吸科要从3名男医生,2名女医生中选派3人,到湖北省的A,B,C三地参加疫情防控工作,若这3人中至少有1名女医生,则选派方案有(       )A.9种 B.12种 C.54种 D.72种【答案】C【解析】先从5名医生中选3人,排除所选医生都为男医生的情况,再安排到A,B,C三地即可.【详解】3人中至少有1名女医生,考虑间接法,先任选3名医生共有种选法,没有女医生被选上的情况为,因此3人中至少有1名女医生的选法为种,安排到湖北省的A,B,C三地共有种,故选:C【点睛】本题主要考查排列、组合的应用,涉及分步乘法计数原理,间接法,属于中档题.例12.在某互联网大会上,为了提升安全级别,将5名特警分配到3个重要路口执勤,每个人只能选择一个路口,每个路口最少1人,最多3人,且甲和乙不能安排在同一个路口,则不同的安排方法有(       )A.180种 B.150种 C.96种 D.114种【答案】D【解析】【详解】分析:先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口,先算出总共的安排方法,再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解:先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口,分两种情况:①三个路口人数情况3,1,1,共有种情况;②三个路口人数情况2,2,1,共有种情况.若甲乙在同一路口,则把甲乙看作一个整体,则相当于将4名特警分配到三个不同的路口,则有种,故甲和乙不能安排在同一个路口,不同的安排方法有种.故选:D.点睛:本题考查排列、组合的实际应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.例13.电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事,在《夺冠》上映当天,一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见,影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐,则不同的坐法种数是______.【答案】16【解析】【分析】将四人作全排列,再排除两个家长相邻和两个小孩相邻情况,即可得结果.【详解】将四个人全排列,再减去两个家长相邻和两个小孩相邻情况,故.故答案为:16.例14.把a,a,a,b,b,,排成一排,要求三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,则这样的排法共有______种.【答案】96【解析】【分析】计数综合问题,可先对b,b,,进行排列,然后用“插空法”解决三个“a”两两不相邻的问题,最后减去两个“b”相邻的情况即为所求【详解】根据题意,分情况进行分析:①先排列b,b,,,若,不相邻,则有(种)排法,若,相邻,则有(种)排法.所以b,b,,的排法有(种),排好后有5个空位.②从所形成的5个空中选3个插入a,共有(种)方法,若b,b相邻,从所形成的4个空中选3个插入a,共有(种)方法,故三个“a”两两步相邻,且两个“b”也不相邻的排法共有(种).故答案为:96例15.在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作,丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作,则不同的分配方法总数为_____________.【答案】84【解析】【详解】试题分析:甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生,①当有二所医院分2人另一所医院分1人时,总数有种,其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种;②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.考点:计数原理的运用.例16.某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有______种.【答案】474.【解析】【分析】采用间接法,首先求解出任意安排节课的排法种数;分别求出前节课连排节和后节课连排3节的排法种数;作差即可得到结果.【详解】从节课中任意安排节共有:种其中前节课连排节共有:种;后节课连排3节共有:种老师一天课表的所有排法共有:种本题正确结果:【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解,对于限制条件较多的问题,通常采用间接法来进行求解.例17.现有5人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有____种.(用数字作答)【答案】36【解析】【分析】先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法,在此条件下,计算甲不排在两端的排法,最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排,甲、乙两人不相邻,有种排法,其中甲排在两端,有种排法

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