高考数学专题11 多面手问题（解析版）

专题11多面手问题例1．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．详解：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理．第一类个只会左边的都不选，有种；第二类个只会左边的有人入选，有种；第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．例2．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（       ）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【解析】【分析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况进行讨论，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种；③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有种．综上分析，共可开出种．故选：B．例3．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（       ）A．26种 B．30种 C．37种 D．42种【答案】C【解析】【分析】设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取；②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取；③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，再运用分类加法原理可得选项.【详解】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法．故选：C．例4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（       ）A．56种 B．68种C．74种 D．92种【答案】D【解析】【分析】根据条件，分划左舷有“多面手”的人数分类，利用组合数公式计算求值.【详解】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法．故选：D【点睛】方法点睛：组合数中的“多面手”问题，需明确某一类元素多面手有多少进行分类，这样才能做到不重不漏.例5．某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（       ）A．26种 B．30种 C．37种 D．42种【答案】C【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法；故选：C．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．例6．在名工人中,有人只当钳工,人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工,人当车工,则共有种不同的选法.A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】分析：关键是既会钳工又会车工的2人的选择，这2人可分类：只选1人且当钳工，只选1人且当车工，2人都选，其中1人钳工1人车工，2人都当钳工，2人都当车工，或者2人都不选，用分类加法原理.详解：由题意选法有：185，故选D.点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定事件完成的方法，象本题有“全能”选手的问题中，一般是按照“全能”选手进行分类：2名“全能”选手只有1人进行某一项工作；2人都选，一人一项工作或2人做同一项工作；2人都不选，这样完成分类，每一类分别进行计算再相加即得.例7．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为A．36种 B．33种 C．27种 D．21种【答案】C【解析】【详解】试题分析：第一类，船两大人一小孩，船一大人一小孩：有种方法.第二类，船一大人两小孩，船两大人：有种方法.第三类，船一大人两小孩，船一大人，船一大人：有种方法.第四类，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有种方法.根据分类加法计数原理，共有种不同的方法.故选C.考点：排列、组合、分类加法计数原理.例8．6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）【答案】12【解析】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中和选中分类，选中后又选为唱歌还是跳舞再分类求解．【详解】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中，选中唱歌，选中跳舞分类：．故答案为：12.【点睛】本题考查组合的应用，解题关键是多面手的安排．可按多面手的作用分类：未选中多面手，选中多面手后安排做一种工作．再确定其它要选的人数．例9．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．【答案】12【解析】【分析】由题意按照既会电工又会木工1人没入选、既会电工又会木工1人入选充当电工、既会电工又会木工1人入选充当木工分类讨论，结合分步乘法、组合的知识即可得解.【详解】由题意可对选出的电工2人木工2人分类：①既会电工又会木工1人没入选，有种选法；②既会电工又会木工1人入选充当电工，有种选法；③既会电工又会木工1人入选充当木工，有种选法；综上，共有种选法．故答案为：12．【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了分类讨论思想，合理分类、分步是解题的关键，属于基础题.例10．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．【答案】60【解析】【分析】考虑多面手（既会俄语又会英语的）的特殊性，按照多面手从事的工作进行分类，分别求出每种情况的选法种数，由分类加法原理即得．【详解】因为英语翻译只能从多面手中选，所以有（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有种选法；（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有种选法；（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有种选法；共有18+36+6=60种选法．【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及到分类讨论思想的运用，选好标准，要做到不重不漏．例11．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有法______种【答案】15【解析】【详解】试题分析：不选既会唱歌也会跳舞的学生，选法有：种；既会唱歌也会跳舞的学生参加唱歌，选法共有种；既会唱歌也会跳舞的学生参加跳舞，选法有：种，所以共有种．考点：组合．例12．某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.【答案】18【解析】【分析】将问题分成两类：一类是一个大人带两个儿童，一类是两个大人各带一个儿童.分别计算出方法数然后相加，得到总的方法数.【详解】一个大人带两个儿童时，大人的选法有种，故方法数有种.两个大人各带一个儿童时，先排好大人，再排小孩，方法数有种.故总的方法数有种.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，考查排列数的计算，属于基础题.例13．某旅馆有三人间､两人间､单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间(必须有成人陪同)，且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有______种.【答案】18【解析】【分析】按照题目要求,先排列大人必各住一个房间,由排列数公式计算,再排列两个小孩的房间,分两种情况,最后由分步计数原理可得答案.【详解】由题分析知，三个大人必各住一个房间，两个小孩可以同住三人间或三人间､两人间各一人，所以不同的安排方法有种.【点睛】本题考查排列组合的应用,以及排列数的计算,涉及到分步计数原理,属于基础题.例14．在一次演唱会上共10名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？【答案】（1）3人；（2）228.【解析】【分析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有人，再列出关于的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案；【详解】（1）设既能唱歌又会跳舞的有人，，设既能唱歌又会跳舞的有3人。（1）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，①只能唱歌选0人，，②只能唱歌选1人，，③只能唱歌选2人，，有228种选派方法.【点睛】本题考查分类、分步计数原理及组合数的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力.例15．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．【答案】37【解析】【详解】试题分析：解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出