高考数学专题13 捆绑法模型（解析版）

专题13捆绑法模型例1．中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】【分析】在排列时，相邻元素用捆绑法，特殊元素特殊安排，利用分步计数原理即可求解.【详解】首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.故选：C例2．要为5名游客和2位导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同的排法共有（       ）种A．1440 B．960 C．720 D．240【答案】A【解析】【分析】将两位导游看作一个人，和其他人一起全排列，可得答案.【详解】因为两位导游要相邻，因此将两位导游看作一个人，内部排列有种排法，将两位导游看作一个人和其他人全排列有种排法，因此根据乘法原理共有种排法，故选：A例3．有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（       ）A．36 B．48C．72 D．120【答案】C【解析】【分析】根据相邻两个空座的位置在两端和在中间分类讨论．【详解】根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法.故共有种坐法.故选：C．例4．中国古代的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节.一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（       ）A．36种 B．72种 C．108种 D．144种【答案】B【解析】【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，由此计算出正确答案.【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，所以不同的排课顺序有种.故选：B例5．12月9~12日，2021第十一届贵阳汽车文化节，在贵阳国际会议展览中心开幕，在之前的筹备过程中，组委会要将四个自主品牌､两个新能源､一个进口品牌､一个合资品牌汽车分别安排在下表的八个展位：展位8展位6展位4展位2展位1过道展位7展位5展位3其中要求红旗､吉利两个自主品牌安排在展位1或展位8，两个新能源品牌安排在相邻的位置（间隔过道也算相邻），则共有（       ）种不同的安排方法.A．192 B．672 C．720 D．1440【答案】B【解析】【分析】优先排展位1和8，利用捆绑法排列两个相邻的新能源展位，最后剩余的四个展位全排列，再利用分步乘法计数原理求解.【详解】由题意，展位1和8有种排法，两个相邻的新能源车展位有67，64，42，45，23，75，53七种情形，共有种排法，剩余四种品牌排在剩余四个展位上，有种排法，所以满足条件的不同排法有：种排法.故选：B例6．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）A．288 B．144 C．96 D．72【解析】分三步：先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法故共有种方法.故选：D例7．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（       ）种.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，有种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有种，②，将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，则不同的排法有种，故选：D．例8．甲､乙､丙､丁4人站成一排排练节目，且甲､乙2人必须相邻，则不同的站队方法有（       ）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】A【解析】【分析】将甲､乙2人“捆绑”在一起看成1个人与其他从进行全排列，本身也全排列即可得．【详解】将甲､乙2人“捆”在一起看成1个人，共有种站队方法.故选：A．例9．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行．若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（       ）A．12种 B．28种 C．20种 D．16种【答案】C【解析】【分析】分中心组学习在第1阶段和第2阶段分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可．【详解】若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有（种）；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有（种）．故共有种不同的安排方案，故选：C．例10．某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【解析】【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【详解】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．故选：D.例11．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（       ）A．36种 B．48种 C．72种 D．144种【答案】C【解析】【分析】先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.【详解】根据题意，从4个视频中选2个有种方法，2篇文章全选有种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，故满足题意的学法有（种）．故选：C例12．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【解析】【分析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.【详解】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．故选：D例13．我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】【分析】分析可知“数”排在第节，将“射”和“御”捆绑，确定这两门课程的排法种数，再安排剩余的门课程，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】分析可知“数”排在第节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的节，有种排法，所以不同的安排顺序共有（种）．故选：C．例14．某款手机软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块.某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法种数为（       ）A．60 B．240 C．192 D．432【答案】B【解析】【分析】结合捆绑法、插空法求得不同的学习方法种数.【详解】由题意，知有且仅有三个答题模块相邻，所以从四个答题模块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题模块插空放在两个学习模块的间隙或两端位置，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的学习方法种数为.故选：B例15．张老师、孙老师与三位学生共五人在清华大学数学系楼前排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法数是（ ）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法和插空法解题.【详解】把2位老师捆绑在一起看作一个元素，剩下3位同学全排列，有种，2位老师构成的元素插入到3位同学所成空隙里，由于不在两端，所以共有2个空，故有种故选：B【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.例16．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（       ）A．34种 B．48种 C．96种 D．144种【答案】C【解析】【分析】6个位置，先安排队长，然后安排甲乙两人，剩下的3人排在剩下的3个位置．【详解】第一步安排队长在排头或排尾，然后甲乙2人在剩下的位置中选相邻的两个位置排列，最后还有3人在剩下3个位置排列，排法有．故选：C．例17．甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数______．【答案】36【解析】【分析】甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，从而即可求解.【详解】解：由题意，甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，故有种不同的排法种数，故答案为：36.例18．来自甲、乙、丙三个班的名同学站成一排照相，其中甲班有人，乙班有人，丙班有人，仅有一个班级的同学相邻的站法种数有__种.【答案】48【解析】【分析】根据题意，先考虑把甲班或者乙班的名同学和丙班的名同学捆绑站队，再利用插空法将另一个班的名同学进行插空即可.【详解】由题可知：可以是甲班的名同学相邻，也可以是乙班的名同学相邻，相邻的名同学和丙班的名同学站队，共有种站法；再将另外一个班的名同学进行插空，共有种站法.由分步乘法计数原理，仅有一个班级的同学相邻的站法种数有：种.故答案为：48.例19．将语文数学、英语物理、化学、生物六本书排成一排，其中语文、数学相邻，且物理、化学不在语文、数学的同一侧，则不同的排法共有______种.（用数字作答）【答案】80【解析】【分析】先将语文、数学捆绑，再将物理、化学放两侧，最后排英语、生物插入4个空位中，分英语、生物相邻和不相邻两种情况，最后由分步乘法计数原理即可得出答案.【详解】解：将语文、数学捆绑视为一本书，考虑左右位置，共有种方法，物理、化学放两侧，有种排法，最后排英语、生物插入4个空位中，如果英语、生物相邻，则有种排法，如果英语、生