高考数学专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）

专题16分解法模型和最短路径问题例1．5400的正约数有（       ）个A．48 B．46 C．36 D．38【答案】A【解析】【分析】把5400进行质因数分解后利用质因数的指数进行计算．【详解】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为．故选：A．【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成事件的方法．即寻找5400的正约数的方法．本题是分步计数原理．例2．象棋，亦作“象暮”､中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由图知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，得到路线的种数，其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，第一步，从横横竖中选一路线，第二步，从横竖”中选一路线，得到路线的种数，再利用古典概型的概率求解.【详解】由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有条路线.其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有条路线.故所求概率为.故选：C例3．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】【详解】试题分析：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选B．考点：排列、组合的实际应用．例4．如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有A．10 B．13 C．15 D．25【答案】C【解析】【分析】向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案【详解】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有种结果，选C【点睛】本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题．例5．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有A．6条 B．7条 C．8条 D．9条【答案】A【解析】【详解】共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A.例6．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（     ）条A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【解析】【详解】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.考点：分步计数乘法原理.例7．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为A．14 B．15 C．16 D．17【答案】D【解析】【详解】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．   例8．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（     ）A．72 B．56 C．48 D．40【答案】A【解析】【分析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可．【详解】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有（种）【点睛】本题考查了排列组合中的乘法原理．属于基础题．例9．如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点到，乙从点到，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（       ）.A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出甲从点到，乙从点到总的路径的对数，再计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数，其等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数，进而可得甲､乙的行走路线没有公共点的路径的对数，再由古典概率公式即可求解.【详解】首先考虑甲从点到，乙从点到总的路径的对数，甲从点到，需要向上走步，向右走步，共步，所以甲从点到有种方法；乙从点到，需要向上走步，向右走步，共步，所以乙从点到有种方法；由分步乘法计数原理可知：甲从点到，乙从点到，有种方法；下面计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数，证明：甲从点到，乙从点到相交路径的对数等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数，事实上，对于甲从点到，乙从点到的每一组相交路径，他们至少有一个交点，如图，设从左到右，从下到上的第一个交点为点，如图，实线路径表示甲从到的路径，虚线路径表示乙从点到的路径，将点以后的实线路径改为虚线，虚线路径改为实线，就得到一组甲从点到，乙从点到相关路径，如图，反之，对于甲从点到，乙从点到的任意一组相交路径，也都可以用同样的方法将之变换成甲从到，乙从点到的一组相交路径，即这两者之间的相交路径是一一对应的，又因为甲从点到，乙从点到的任意一组路径都是相交路径，所以甲从点到，乙从点到共有种方法；所以甲､乙的行走路线没有公共点的有种方法；甲､乙的行走路线没有公共点的概率为，故选：C例10．如图为的网格图，甲从出发去地，每次只能向上或向右走一格，则甲所走路径的条数为（       ）A． B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】解：由题意得：从到需要走格，向上、向右分别走格，因此甲只需在次选择中次选择向右走，剩下的次选择向上走即可，故甲所走路径的条数为：.故选：C.例11．如图为的网格图，甲、乙两人均从出发去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为、，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，甲只需在次选择中次选择向右走，剩下的次选择向上走即可，利用组合计数原理可求得的值，列举出乙的走法情况，可得出，由此可得出的值.【详解】由题意得从到需要走格，向上、向右分别走格，因此甲只需在次选择中次选择向右走，剩下的次选择向上走即可，，乙只能在对角线下方（包括）走，所以，乙的走法的所有可能情况为：（右上右上右上）、（右上右右上上）、（右右上上右上）、（右右上右上上）、（右右右上上上），即，则，故选：C.【点睛】关键点点睛：考查格点问题，在求解甲、乙两人的走法步数时可按如下方法求解：（1）甲的走法没有任何限制，需确定走法中，向上的步数是哪几步，然后结合组合计数原理求解；（2）乙的走法有限值，在求解时可采用列举法求解.（多选题）例12．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（       ）A．甲从M到达N处的走法种数为120B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164【答案】BD【解析】【分析】根据题意分析出甲从到达处，需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从到达处的走法种数为，从而可得出A错误；若甲从M必须经过到达N处，可分两步，甲从到达，从到达，从而可判断选项B正确；若甲，乙两人能在处相遇，先计算甲经过的走法种数，再计算乙经过的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在处相遇的走法种数；根据题意可得出只能在，，，处相遇，然后分别计算走法种数即可.【详解】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.故选：BD.（多选题）例13．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则（       ）A．甲从M到达N处的走法有70种B．甲从M必须经过到达N处的走法有12种C．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法【答案】AD【解析】【分析】根据题意，分析可得M到N的步数及M到的步数，根据组合数公式，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】甲由道路网M处出发，随机地选择一条沿街的最短路径到达N处需走8步，共有种走法，故A正确；甲由道路网M处出发，随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走4步，有种走法，从处沿街的最短路径到达N处需走4步，有种走法，所以共有种走法，故B错误；由B可知，甲从M必须经过到达N处的走法有36种，同理乙从N必须经过到达M处的走法也有36种，则甲、乙两人在处相遇，共有种走法，故C错误；甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在处相遇，他们在处相遇的走法有种，则，故D正确．故选：AD．例14．270的不同正约数共有___________个.【答案】16【解析】【分析】先将270进行分解，进而利用约数的定义利用分类分步原理可得答案．【详解】解：，故270的不同的正约数共有：个，故答案为：16．例15．360的正约数共有___________个.【答案】24【解析】【分析】把360进行质因数分解，由质因数的指数可得约数个数．【详解】，所以正约数就是从3个2、2个3、1个5中取若干个的乘积，正约数个数为．故答案为：24．例16．640的不同正约数共有______个【答案】16【解析】【分析】把640分解质因数，并把640写出各质因数积的形式，再经分析计算即得.【详解】因，于是得640的正约数形如，其中，所以640的一个正约数是中r，k各取一个值代入计算的