高考数学专题21 排队问题（解析版）

专题21排队问题例1．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？【答案】(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840【解析】【分析】小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．(1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的排法；(2)先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．故总共有（种）不同的排法；(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．例2．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？【答案】（1）1440；（2）3720；（3）840；（4）432.【解析】【分析】（1）用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算即可；（2）分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算即可；（3）首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析即可．（4）首先将4名男生和3名女生中各选出2人，然后4人分四个不同角色全排列即可.【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位.②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则三名女生不能相邻的排法有种；（2）根据题意，分2种情况讨论：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况，②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，则此时有种站法，则一共有种站法；（3）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，甲乙丙三人内部的排列共有种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有；（4）根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有种情况，其次4人分四个不同角色，有种情况，共有种选派方法.【点睛】本题主要考查排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.例3．现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：（1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端；（3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】(1)不相邻问题用“插空法”，再结合排列及计数原理知识即可求解；(2)相邻问题用“捆绑法”，再结合排列及计数原理知识即可求解；(3)特殊情况优先安排，再结合排列组合及计数原理知识即可求解；(4)按个子排序，即有顺序的情况，由组合及计数原理知识即可求解.【详解】解：（1）先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入个空档中的个，有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种；（2）将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有种；再将其余人全排列有种，故共有种不同排法；（3）先从另外三人中选一插在甲乙之间，则甲、乙之间仅相隔人共有种不同排法；（4）按高个子站中间,两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有种不同的排法.【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.例4．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）840；（5）；（6）.【解析】【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析，再由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析，再由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①：女生甲站在右端，②：女生甲不站在右端，再由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，再由倍分法分析可得答案．（5）根据题意，分2步进行分析：①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，②，将选出的4人全排列，再由分步计数原理计算可得答案；（6）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，再由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有A44×A53＝24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有A44×A44＝24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种．（5）根据题意，分2步进行分析：①，在4名男生中选取2名男生，3名女生中选取2名女生，有C42C32种选取方法，②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有种不同的安排方法；（6）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个男生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，则有种排法．【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素这一特殊问题的处理方法．例5．在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，②，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.例6．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到低（3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解析】【详解】试题分析：（1）捆绑法，甲乙二人互换种，将甲乙当一个人与其他人全排；（2）捆绑法，先从甲、乙以外的人中任选人站在甲、乙之间，有种站法，再将甲、乙及中间二人共人看作一个整体参加全排列，有种站法，最后甲、乙进行局部排列，有种站法.根据分步乘法计数原理，知共有种不同站法；（3）将个人分三次插入，第一个人有种插法，第二个人有种插法，第三个人有种插法，根据分