高考数学专题16 圆锥曲线与重心问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(原卷版)

2023-11-09 · U1 上传 · 6页 · 367.6 K

专题16圆锥曲线重心问题一、单选题1.已知点是椭圆上的三点,坐标原点是的重心,若点,直线的斜率恒为,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.2.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点,直线交椭圆于两点,若恰好为的重心,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.3.设点为椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点,且的重心为点,如果,那么的面积为()A. B. C. D.4.已知A是双曲线的左顶点,分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,G是的重心,若,则为()A. B. C. D.与的取值有关5.设,是双曲线的左、右焦点,点是双曲线右支上一点,若的内切圆的半径为,且的重心满足,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.6.已知的三个顶点都在抛物线:,且,抛物线的焦点为的重心,则()A.40 B.38 C.36 D.347.已知、、是抛物线上三个不同的点,且抛物线的焦点是的重心,若直线、、的斜率存在且分别为、、,则()A.3 B. C.1 D.08.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交于,两点,的重心为点,则点到直线的距离的最小值为()A.2 B. C. D.二、多选题9.椭圆的左、右焦点分别是,是椭圆第一象限上的一点(不包括轴上的点),的重心是,的角平分线交x轴于点(m,0),下列说法正确的有()A.G的轨迹是椭圆的一部分 B.的长度范围是C.取值范围是 D.10.若双曲线,分别为左、右焦点,设点在双曲线上且在第一象限的动点,点为的内心,点为的重心,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若,,则.D.存在点,使得11.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”,后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合,且恰为某三角形的外心,重心,垂心所成集合.若的斜率为1,则该双曲线的离心率可以是()A. B. C. D.12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,,点,点,且其“欧拉线”与圆相切,则下列结论正确的是()A.圆上点到直线的最大距离为B.圆上点到直线的最小距离为C.若点在圆上,则的最小值是D.圆与圆有公共点,则的取值范围是三、填空题13.已知,分别是双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点,若为的重心,则该双曲线的离心率为______.14.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点.若△ABF1的重心为G,则椭圆C的离心率为________.15.已知,,是抛物线上三个不同的点,且抛物线的焦点是的重心,若直线,,的斜率存在且分别为,,,则______.16.已知抛物线E:y2=4x,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为抛物线上的三个动点,其中x1<x2<x3且y2<0,若ABC的重心恰为抛物线E的焦点,且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列,则直线AC的斜率为_____.四、解答题17.在双曲线C:中,、分别为双曲线C的左右两个焦点,P为双曲线上且在第一象限内的点,的重心为G,内心为I.(1)求内心I的横坐标;(2)已知A为双曲线C的左顶点,直线l过右焦点与双曲线C交于M、N两点,若、的斜率、满足,求直线l的方程;(3)若,求点P的坐标.18.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程;(2)已知椭圆的右焦点与点关于直线对称,问:是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点,使的重心恰好在直线上?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.19.若椭圆:的右焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,设为坐标原点,点满足,设直线的斜率为,且.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上一点,且点为△的重心,证明:.20.已知为椭圆与抛物线的交点,设椭圆的左右焦点为,抛物线的焦点为,直线将的面积分为9:7两部分.(1)求椭圆及抛物线的方程;(2)若直线:与椭圆相交于两点,且的重心恰好在圆上,求的取值范围.21.已知椭圆离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,,,是椭圆上不同的三点,且为的重心,探究面积是否为定值,若是求出这个定值;若不是,说明理由22.设是以为焦点的抛物线,是以直线与的渐近线,以为一个焦点的双曲线.(1)求双曲线的标准方程;(2)若与在第一象限有两个公共点,求的取值范围,并求的最大值;(3)是否存在正数,使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.

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