高考数学专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解

2023-11-09 · U1 上传 · 14页 · 930.4 K

专题07双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1.设,为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,则的面积为()A.2 B. C.4 D.【解析】由题意,双曲线,可得,则,因为点在双曲线上,不妨设点在第一象限,由双曲线的定义可得,又因为,可得,即,又由,可得,解得,所以的面积为.故选:C.2.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,与直线交于A,B两点,若,则该双曲线的方程为()A. B. C. D.【解析】由题意可设双曲线方程为,,由得,则,,不妨假设,则,由图象的对称性可知,可化为,即,解得,故双曲线方程为:,故选:C3.过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C:-y2=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则|AB|=()A.2 B.2C.3 D.4【解析】解法一:由题意可知,直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-4)+2.由消去y并整理,得(1-2k2)x2+8k(2k-1)x-32k2+32k-10=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为P(4,2)为线段AB的中点,所以x1+x2=-=8,解得k=1.所以x1x2==10.所以|AB|=·=4.故选:D.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则, ①,. ②①-②得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为P(4,2)为线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4.所以4(x1-x2)-4(y1-y2)=0,即x1-x2=y1-y2,所以直线AB的斜率k==1.则直线AB的方程为y=x-2.由消去y并整理,得x2-8x+10=0,所以x1+x2=8,x1x2=10.所以|AB|=·=4.故选:D4.已知双曲线:的一条渐近线方程是,过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长()A. B. C.10 D.【解析】∵双曲线:的一条渐近线方程是,∴,即,∵左焦点,∴,∴,∴,,∴双曲线方程为,直线的方程为,设,由,消可得,∴,,∴.故选:C5.已知双曲线C:(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为()A.2 B.3 C. D.【解析】设,,由已知可得,,相减化简可得,又AB的中点N(12,15),直线AB过点P(3,6),∴,,,∴,∴,∴离心率,故选:C.6.已知双曲线C:,经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为()A.8x-y-15=0 B.8x+y-17=0C.4x+y-9=0 D.4x-y-7=0【解析】设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减得4(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为M(2,1)是线段AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.所以16(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以kAB===8,故直线l的方程为y-1=8(x-2),即8x-y-15=0.故选:A.7.已知双曲线左、右焦点分别为,,过作轴的垂线交双曲线的于,两点,若的周长为25,则双曲线的渐近线方程为().A. B. C. D.【解析】设,,因为垂直x轴,所以,又A、B在双曲线C上,所以,又,所以,所以,所以的周长为=,所以或(舍)所以双曲线的渐近线方程为,即.故选:A8.设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为A. B. C. D.【解析】为双曲线的一条渐近线,故设双曲线方程为,则右焦点的坐标为,,因为在上,且,则右焦点的坐标为到直线的距离,,,,故,故选:二、多选题9.双曲线的方程为,分别为左右焦点,为双曲线上一点,且,直线:与交于A,两点,则()A.或B.的离心率为C.的渐近线与圆相切D.满足的直线有3条【解析】由双曲线的方程为,则在双曲线中选项A,当点在右支上时,,由,所以点在左支上,则,所以选项A不正确.选项B.双曲线的离心率为,所以选项B不正确.选项C.双曲线的渐近线方程为圆的半径为1,圆心为到渐近线的距离为所以的渐近线与圆相切,故选项C正确.选项D.由直线:恒过点,即直线:过双曲线的右焦点.若直线与双曲线的右支相交于A,两点,当轴时,由,所以此时满足条件的直线有2条.若直线与双曲线的左、右支各有一个交点,此时则满足条件的直线即为,故此时只有一条直线满足条件.综上所述:满足条件的直线有3条,故选项D正确故选:CD10.已知双曲线的右焦点为,过的动直线与相交于,两点,则()A.曲线与椭圆有公共焦点B.曲线的离心率为,渐近线方程为.C.的最小值为1D.满足的直线有且仅有4条【解析】对于A:由知双曲线的焦点在轴上,由知椭圆的焦点在轴上,所以焦点不相同,故选项A不正确;对于B:由双曲线可得,,所以,所以双曲线的离心率为,渐进线方程为,即,故选项B正确;对于C:当,两点位于双曲线的异支时,直线的斜率为时最小,此时,两点分别为双曲线的左右顶点,此时,当,两点位于双曲线的同支时,直线的斜率不存在时最小,直线的方程为代入可得,所以,所以的最小值为1,故选项C正确;对于D:由选项C知,当,两点位于双曲线的异支时,,此时只有一条,当,两点位于双曲线的同支时,,根据对称性可知,此时存在两条直线使得,所以满足的直线有且仅有条.故选项D不正确;故选:BC.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线交于A,B两点,A在第一象限,若△为等边三角形,则下列结论一定正确的是()A.双曲线C的离心率为 B.的面积为C.的内心在直线上 D.内切圆半径为【解析】对于C,设的内心为I,作过作的垂线,垂足分别为,如图,则,所以,所以的内心在直线上,故C正确;△为等边三角形,若在同一支,由对称性知轴,,,.,;,设的内切圆半径为r,则,解得;若分别在左右两支,则,则,解得,离心率,,设的内切圆半径为r,则,解得;所以结论一定正确的是BC.故选:BC.12.已知,是双曲线的左、右焦点,过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点,,下列判断正确的是()A. B.C.的离心率等于 D.的渐近线方程为【解析】,即为中点,为中点,,,,,,A错误,B正确;由知:,又,,,即,,解得:,C正确;,,,,的渐近线方程为,D正确.故选:BCD.三、填空题13.过点的直线与双曲线交于两点,且点恰好是线段的中点,则直线的方程为___________.【解析】过点的直线与该双曲线交于,两点,设,,,,,两式相减可得:,因为为的中点,,,,则,所以直线的方程为,即为.故答案为:.14.已知双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线上一点,且,则___________.【解析】依题意,设,不妨设,,设,根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得,,,,,,,,由于,所以,所以.故答案为:15.已知,为双曲线的左、右焦点,以,为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为,,,则双曲线的标准方程为______.【解析】由双曲线定义得又,解得:,,∵为以,为直径的圆与双曲线在第一象限的交点,∴∴,解得:,∴,故双曲线标准方程为:.16.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,直线与交于,两点,当最小时,四边形的面积为___________.【解析】设,由,得,由韦达定理得,所以,当时,有最小值,设到直线的距离分别为,,所以四边形的面积为四、解答题17.已知点,,动点满足条件.记动点的轨迹为.(1)求的方程;(2)过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于,两点,求.【解析】(1)因为,所以点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线,所以,所以,所以的方程为:;(2)不妨设焦点,则直线:由消去得:.设,,则,,所以.18.已知双曲线的离心率为,且其顶点到其渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程;(2)直线:与双曲线交于,两点,若,求的值.【解析】(1)由题得顶点到渐近线,即的距离为,即,离心率,又,则可解得,故双曲线方程为;(2)设,联立可得,则,解得,则,解得.19.已知双曲线的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点(点P在x轴上方).(1)若,求直线l的方程;(2)设直线的斜率分别为,证明:为定值.【解析】(1)设直线方程为,,,由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点,则,,由点P在x轴上方,则∴直线l方程为(2)由方程可得,设,则,所以,所以要证为定值,只需证为定值,由(1)可知,,∴为定值.20.已知过点的双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,一条渐近线的方程是.(1)求双曲线的方程;(2)若是坐标原点,直线:与双曲线的两支各有一个交点,且交点分别是,,的面积为,求实数的值.【解析】(1)因为双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,一条渐近线的方程是,所以可设双曲线的方程是,则,解得.所以双曲线的方程是.(2)由消去整理,得.由题意知解得且.设,,则,.因为与双曲线的交点分别在左、右两支上,所以,所以,所以,则.所以,即,解得或,又,所以.21.直线与双曲线相交于、两点,为坐标原点,且.(1)求与满足的关系;(2)求证:点到直线的距离是定值,并求的最小值.【解析】(1)设点A,B,联立消得,∴,由得代入化简可得和满足的关系为:;(2)由点到直线的距离公式可得:,由(1)得代入可解得为定值;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:,令(t≤3)化简可得,由t≤3可得当,t=3时.22.已知圆锥曲线的两个焦点坐标是,且离心率为;(1)求曲线的方程;(2)设曲线表示曲线的轴左边部分,若直线与曲线相交于两点,求的取值范围;(3)在条件(2)下,如果,且曲线上存在点,使,求的值.【解析】(1)由e=知,曲线E是以F1(﹣,0),F2(,0)为焦点的双曲线,且c=,,解得,∴b2=2﹣1=1,故双曲线E的方程是x2﹣y2=1.(2)由消去整理得设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得方程有两个负数根,∴,解得,∴实数的取值范围是.(3)由题意及(2)得6=||=|x1﹣x2|=•=,整理得28k4﹣55k2+25=0,解得或,又﹣,∴k=﹣,故直线AB的方程为.设C(x0,y0),由=m,得(x1,y1)+(x2,y2)=(mx0,my0),又=﹣4,y1+y2=k(x1+x2)﹣2=8,∴.∵点在曲线E上,∴,解得m=±4,当m=﹣4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,∴m=4为所求.

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