高考数学专题21 圆锥曲线的综合运用-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 16页 · 1.2 M

专题21圆锥曲线的综合应用一、单选题1.已知F是抛物线C:的焦点,O为坐标原点,过F的直线交C于A,B两点,则三角形OAB面积的最小值为()A. B. C. D.2【解析】由得,设由已知直线的斜率存在设为,所以直线,联立得,,当时,三角形面积的最小值为,故选:D.2.直线过椭圆的中心与椭圆交于M,N两点(点M在第一象限),过点M作x轴的垂线,垂足为E,直线NE与椭圆交于另一个点P,则的值为()A. B.1 C. D.【解析】设,,则,,,所以,即,所以,所以,即,所以,,即.故选:B.3.设是椭圆上一点,,分别是圆和上的点,则的最大值为()A. B. C. D.【解析】根据题意作出如图所示的图象,其中、是椭圆的左,右焦点,在中可得:①,当且仅当、、三点共线时,等号成立,在中可得:②,当且仅当、、三点共线时,等号成立,由①②得:,由椭圆方程可得:,即,由椭圆定义可得:,所以,.故选:A.4.椭圆的左、右焦点分别为,,O为坐标原点,则下列说法正确的是()A.过点的直线与椭圆C交于A,B两点,则的周长为4B.椭圆C上不存在点P,使得C.椭圆C的离心率为D.P为椭圆C上一点,Q为圆上一点,则点P,Q的最大距离为3【解析】对于选项A,由椭圆定义,可得,因此的周长为,故A错误.对于选项B,设,则,且.又,,所以,,因此,解得,故B错误.对于选项C,因为,,所以=,即,所以离心率,故C错误.对于选项D,设,则点P到圆的圆心的距离为.因为,所以,故D正确.故选:D.5.过抛物线的焦点F的直线于C交于A,B两点则取得最小值时,()A. B. C. D.【解析】抛物线的焦点坐标为,,设点,,又由题意得直线的斜率一定存在,设其为,则其方程为.由,得,得,又,所以,当且仅当,即时,取等号,所以.故选:A.6.已知A,B是双曲线实轴的两个端点,M,N是双曲线上关于x轴对称的两点,直线的斜率分别为.若双曲线的离心率为2,则的最小值为()A. B.1 C. D.【解析】由题设可设,,则,故,因为双曲线的离心率为2,故,故,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立,故的最小值为.故选:D.7.已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于,两点,轴上的点满足,则的取值范围为()A., B., C., D.,【解析】很明显点为线段的垂直平分线与轴的交点,设直线,,,,,联立直线方程与椭圆方程,可得,因此,所以线段的中点坐标为,,的垂直平分线的方程为,当时,,则,因此,所以,故选:B.8.设A,B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点,设过P的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为()A. B.C. D.【解析】双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),又P,∴直线PA的方程为x=-1,PB的方程为x=-+1,联立可得y2-=0,解得y=0或y=,将y=代入x=-1可得x=,即有M,联立可得y2-y=0,解得y=0或y=,将y=代入x=-+1,可得x=,即N设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,即有=,将M,N的坐标代入化简可得=,解得s=2,即Q(2,0),设过Q的直线方程为x=my+2,联立得(3m2-1)y2+12my+9=0,设S(x1,y1),T(x2,y2),可得y1+y2=-,y1y2=,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立,又=2,∴y1=-2y2,∴-2·=,解得m2=,可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|==·=3·=故选:A.二、多选题9.已知椭圆:上有一点,、分别为左、右焦点,,的面积为,则下列选项正确的是()A.若,则;B.若,则满足题意的点有四个;C.椭圆内接矩形周长的最大值为20;D.若为钝角三角形,则;【解析】∵椭圆:,∴,∴,,设,则,,若,则,所以不存在,故A错误;若,则,可得,故满足题意的点有四个,故B正确;设椭圆内接矩形的一个顶点为,则椭圆内接矩形周长为其中,由得,∴椭圆内接矩形周长的范围为,即,故C正确;由上知不可能为钝角,由对称性不妨设是钝角,先考虑临界情况,当为直角时,易得,此时,当为钝角三角形时,,所以,故D正确.故选:BCD10.过抛物线的焦点的直线与相交于,两点.若的最小值为,则()A.抛物线的方程为B.的中点到准线的距离的最小值为3C.D.当直线的倾斜角为时,为的一个四等分点【解析】当直线的斜率不存在时,因为直线过抛物线的焦点,所以的方程为:,由可得,此时,当直线的斜率存在时,设的方程为:,,,由可得:,所以,,所以,对于A:由以上证明可知:当直线的斜率不存在时,,可得,所以抛物线的方程为,故选项A正确;对于B:当直线的斜率不存在时,的中点到准线的距离为,当直线的斜率存在时,的中点横坐标为,此时的中点到准线的距离,故选项B正确;对于C:当直线的斜率不存在时,,,此时,故选项C不正确;对于D:当直线的倾斜角为时,直线的方程为:,由可得:,即,不妨设,,所以,,所以,所以为的一个四等分点,故选项D正确;故选:ABD11.已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点,的面积为,设的离心率为,,则()A. B.C. D.【解析】如图,连接,,设交椭圆于,则,,故正确;设,,,,,,故错误;设,,则,又△的面积为,,即,,又,,故正确;由,,两式作商可得:,故正确.故选:ACD12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,点P为椭圆与双曲线的一个公共点,椭圆与双曲线的离心率分别为,下列说法中正确的有()A.若a=2,b=,且,则B.若a=2,b=,且,则C.若a=5,m=,则D.若,且,则【解析】对于A,若a=2,b=,,则,故A错误,对于B:若a=2,b=,∴c=1,,,,所以,,,故B正确,对于C,若a=5,m=,因为椭圆与双曲线共焦点,,,设,则,故C错误对于D,设,,由椭圆和双曲线的定义可得,,解得,,在三角形中,,可得,即有,可得,即,当时可得,故D正确故选:BD三、填空题13.已知直线与双曲线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆上,则的值是________.【解析】设点,,,,线段的中点,,由,得(判别式△,,,,点,在圆上,则,故.14.双曲线的焦点在圆上,圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P,Q两点满足(其中O是坐标原点),则的面积是_________.【解析】因为双曲线的焦点在圆上,所以,设线段与轴的交点坐标为,结合双曲线与圆的对称性可知为线段的中点,又因为,即,且,则,又因为直线的方程为,所以,又因为在圆上,所以,又因为,则,所以,从而,故,故答案为:.15.已知椭圆:,三角形的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边、、的中点分别为D、E、M,且三条边所在直线的斜率分别为、、,且、、均不为0.为坐标原点,若直线、、的斜率之和为1.则______________.【解析】设,,,,,,因为,在椭圆上,所以,,两式相减得:,即,同理可得,,所以因为直线、、的斜率之和为1,所以,16.设椭圆的左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,,,,则椭圆离心率的取值范围为___________.【解析】设,,由椭圆的定义可得,设,则,所以,即,①因为,所以,②两式相除可得,令可得,所以,因为,所以,所以当即,时取得最小值,此时最小为,当或即,时取得最大值,此时最大为,所以椭圆离心率的取值范围为四、解答题17.已知直线与椭圆相交于、两点,是椭圆上一点(1)当时,求面积的最大值;(2)设直线和与轴分别相交于点、,为原点.证明:为定值.【解析】(1)当时,将代入,解得,.当为椭圆的顶点时,到直线的距离取得最大值,面积的最大值是.(2)证明:设、两点坐标分别为、,从而.设,则有,,.直线的方程为,令,得,从而.直线的方程为,令,得,从而.所以,为定值.18.已知圆的圆心为,过点作直线与圆交于点、,连接、,过点作的平行线交于点;(1)求点的轨迹方程;(2)已知点,对于轴上的点,点的轨迹上存在点,使得,求实数的取值范围.【解析】(1),故,即,,故轨迹为椭圆,,,,故,故轨迹方程为:().(2)设,则,,,即,,即,即,,设,,.故实数的取值范围为.19.已知为坐标原点,椭圆:的左、右焦点分别为,,,为椭圆的上顶点,以为圆心且过,的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆交于,两点,若,点在上,.证明:存在点,使得为定值.【解析】(1)由题意,,,则.又圆与直线相切,则圆的半径,而圆又过两个焦点,结合椭圆定义可知,,所以,所以椭圆的标准方程为:.(2)显然直线的斜率一定存在,设直线的方程为:,将带入得:,所以,,所以,所以,解得,,直线过定点或,根据题意,在以为直径的圆上,该圆的圆心为或,半径等于,所以存在定点或,使得为定值.20.在平面直角坐标系中,已知直线,点,动点到点的距离是它到直线的距离的倍,记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点且斜率大于的直线交于,两点,点,连接,交直线于,两点,证明:点在以为直径的圆上.【解析】(1)设,由题意得,化简得,所以曲线的方程为.(2)证明:设,,,,设直线,且,联立得,由韦达定理可得,,由,解得,由,解得,故点在以为直径的圆上.21.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴,长轴长为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过椭圆的左焦点作直线,且直线交椭圆于,两点,问轴上是否存在一点,使得为常数,若存在,求出坐标及该常数,若不存在,说明理由.【解析】(1)设椭圆的标准方程为,由题意可得,,解得,所以,故椭圆的方程为;(2)由(1)可知,,假设在轴上存在一点,使得恒为常数.①当直线与轴不垂直时,设其方程为,设,,,,联立方程组,可得,所以,,故,因为是与无关的常数,则有,即,此时;②当直线与轴垂直时,此时点、的坐标分别为,,当时,亦有.综上所述,在轴上有在定点,使得恒为常数,这个常数为.22.已知的两个顶点坐标分别为,该三角形的内切圆与边分别相切于P,Q,S三点,且,设的顶点A的轨迹为曲线E.(1)求E的方程;(2)直线交E于R,V两点.在线段上任取一点T,过T作直线与E交于M,N两点,并使得T是线段的中点,试比较与的大小并加以证明.【解析】(1)由内切圆的性质得,所以曲线E是以B,C为焦点,4为长轴长的椭圆,且A,B,C不共线,则,,故E的方程为.(2)当T不为坐标原点时,设,则两式相减得,即,联立方程组整理得,.因为T是线段的中点,所以.联立方程组解得.联立方程组解得,所以,故.当T为坐标原点时,由对称性知,与的大小关系不确定.

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