高考数学专题19 圆锥曲线与垂心问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 17页 · 1.3 M

专题19圆锥曲线与垂心问题一、单选题1.已知点,在抛物线上,为坐标原点,若,且的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线的方程是()A. B. C. D.【解析】如图所示,为的垂心,为焦点,,垂直平分线段,直线垂直于轴.设,,其中.为垂心,,,即,解得,直线的方程为,即.故选:C.2.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点,若坐标原点恰为的垂心(三角形三条高的交点),则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】,则双曲线的渐近线为,则当时,,设,∵若坐标原点恰为△ABF2的垂心,∴OA⊥BF2,即,即,则,即,∵∴,则,则离心率,故选C.3.设抛物线的焦点为,为抛物线上异于顶点的一点,且在直线上的射影为,若的垂心在抛物线上,则的面积为()A. B. C. D.【解析】设点,则点,设点在第一象限,抛物线的焦点为,设的垂心为,由于,则点的横坐标为,可得点,,则,,,,解得,所以,点的坐标为,所以,,.故选:B.4.已知双曲线:(,)的渐近线与抛物线:()交于点、、,若的垂心为抛物线的焦点,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,解方程组得:,则点的坐标为,抛物线的焦点的坐标为,∵是的垂心,∴,∴,即,∴,解得,故选:A.5.双曲线的渐近线与抛物线相交于,,,若的垂心为的焦点,则()A. B. C. D.【解析】设,则解得:,同理,根据得到解得,故选:6.已知双曲线:的虚轴的一个顶点为,直线与交于,两点,若的垂心在的一条渐近线上,则的离心率为()A. B.2 C. D.【解析】设的垂心为,则,不妨设,,,,因为,所以则,,,故选:D.7.已知是双曲线的左、右焦点,过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A,B两点,则坐标原点O可能为的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】对B,若O为的内心,则到直线的距离等于,显然不可能,到直线的距离恒小于,故B错误;对C,若O为的外心,则,,和已知矛盾,故B错误;对D,若O为的重心,则,这也显然错误,故C错误;根据排除法,O可能为的垂心,故选:A.8.记椭圆:的左右焦点为,,过的直线交椭圆于,,,处的切线交于点,设的垂心为,则的最小值是()A. B. C. D.【解析】椭圆的左右焦点为,,由题意,易知直线的斜率存在,(若斜率不存在,则三点共线,不能构成三角形),设直线的方程为,,,对两边同时求关于的导数,得,则,则椭圆在点处的切线斜率为,则椭圆在点处的切线方程为,即,即;同理,椭圆在点处的切线方程为,由得,则,所以,即;又的垂心为,则,,即轴,则的横坐标也为,记的纵坐标为,由得,所以,则,因此,因为过点,所以直线与椭圆必有两个交点,故且,则,当且仅当,即时,等号成立.故选:D.二、多选题9.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”,后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合,且恰为某三角形的外心,重心,垂心所成集合.若的斜率为1,则该双曲线的离心率可以是()A. B. C. D.【解析】设,由,得,得,由,得,得,由,得,得,,,,若为重心、为外心、为垂心,则,所以,化简得,此时双曲线的离心率,若为重心、为垂心、为外心,则,所以,化简得不成立;若为重心、为垂心、为外心,则,所以,化简得,此时双曲线的离心率,若为重心,为垂心、为外心,则,,化简得,此时双曲线的离心率;若为重心、为垂心、为外心,则,所以,化简得或,此时双曲线的离心率或,若为重心,为垂心、为外心,则,所以,化简得或都不成立.综上所述:或或或.故选:ABD10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,,点,点,且其“欧拉线”与圆相切,则下列结论正确的是()A.圆上点到直线的最大距离为B.圆上点到直线的最小距离为C.若点在圆上,则的最小值是D.圆与圆有公共点,则的取值范围是【解析】因为,由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线,由,点可得的中点为,且,所以线段的中垂线方程为:,即,因为三角形的“欧拉线”与圆相切,所以圆心到直线的距离,所以圆的方程为:,因为圆心到直线的距离,A中,圆上点到直线的距离的最大值为,故A不正确:B中,圆上点到直线的距离的最小值为,故B正确;C中:令,所以,代入圆的方程,可得,整理可得,由于在圆上,所以有根,则,整理可得:,解得:,所以的最小值为1,即的最小值为1,所以C错误;D中:圆心坐标,半径为;圆的的圆心坐标为,半径为,要使圆与圆有公共点,则圆心距,所以,即解得:,解得,所以D正确;故选:BD.三、填空题11.已知A,B是抛物线两点,O为坐标原点.若,且的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程为________.【解析】由抛物线的性质知关于轴对称,设,则,焦点为.由题意知,,所以,即.因为,所以,即,所以直线AB的方程为.12.过抛物线y2=4x焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|=4,若原点O是△ABC的垂心,则点C的坐标为_____.【解析】显然直线AB的斜率不为0,由题意设直线AB的方程为:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线AB与抛物线的方程,整理可得y2﹣4my﹣4=0,y1+y2=4m,所以x1+x2=4m2+2,由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+2=4m2+4,由题意可得4m2+4=4,所以m=0,即直线AB垂直于x轴,所以可得A(1,2),B(1,﹣2),因为原点O是△ABC的垂心,所以C在x轴上,设C(a,0),可得AO⊥BC,即0,即(1,2)•(1﹣a,﹣2)=0,整理可得:1﹣a﹣4=0,解得a=﹣3,所以C的坐标为:,13.若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点,其中O是原点,A、B在抛物线上,则△OAB的面积S=____________.【解析】抛物线的焦点为F(1,0).因F为△OAB的垂心,则OF⊥AB,故可设A、B的坐标为.于是OA的方程为ay=2x,.BF的斜率,据,得,因此,h=a2=5,所以.14.已知椭圆的上顶点为,直线与该椭圆交于两点,且点恰为的垂心,则直线的方程为______.【解析】上顶点,右焦点F为垂心,因为=﹣1,且FM⊥l,所以k1=1,所以设PQ直线y=x+m,且设P(x1,y1),Q(x2,y2),由,消y,得3x2+4mx+2m2﹣2=0,△=16m2﹣12(2m2﹣2)>0,m2<3.y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.又F为△MPQ的垂心,∴PF⊥MQ,∴,又,∴∴,∴,经检验满足m2<3,∴存在满足条件直线l方程为:x﹣y+1=0,3x﹣3y﹣4=0,∵x﹣y+1=0过M点即MP重合不构成三角形,∴3x﹣3y﹣4=0满足题意.故答案为15.已知双曲线虚轴的一个顶点为,直线与交于,两点,若的垂心在的一条渐近线上,则的离心率为___________.【解析】设的垂心为,则,不妨设,则,代入渐近线方程,解得,则,因为直线与双曲线交于点,,则,两点的坐标分别为:,,因为,化简可得,所以双曲线的离心率为,16.平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点,则的离心率为_______________【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,解方程组得:,所以点的坐标为,抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心,所以,所以,.所以,.四、解答题17.已知椭圆的右顶点为,右焦点为,上、下顶点分别为,,,直线交线段于点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在直线,使得交于,两点,且恰是△的垂心?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)法一:设,又,,,∴直线的方程为,直线的方程为.由,得点的横坐标为.由,知:,则,即,解得,法二:如图,设的左焦点为,连接.由椭圆的对称性,得,则,即.设,则,,可得,有,∴.由,即,得,∴,,.故椭圆的标准方程为.(2)由(1)知,,则直线的斜率.假设存在满足题意的直线,则.设的斜率为,则,所以.设的方程为,,,由,得,则,.由,得.又,即,又,,∴,又,,∴,即,整理得,解得或.当时,或与重合,不符合题意;当时,满足,∴存在直线,使得是△的垂心,的方程为.18.已知抛物线E:过点Q(1,2),F为其焦点,过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A,B两点,动点P满足△PAB的垂心为原点O.(1)求抛物线E的方程;(2)求证:动点P在定直线m上,并求的最小值.【解析】(1)将点坐标代入抛物线方程得,所以.(2)由(1)知抛物线的方程为,所以,设直线的方程为,设,由消去得,所以.由于为三角形的垂心,所以,所以直线的方程为,即.同理可求得直线的方程为.由,结合,解得,所以在定直线上.直线的方程为,到直线的距离为,到直线的距离为.所以,当且仅当时取等号.所以的最小值为.19.已知拋物线,为拋物线外一点,过点作抛物线的切线交抛物线于,两点,交轴于,两点.(1)若,设的面积为,的面积为,求的值;(2)若,求证:的垂心在定直线上.【解析】(1)设,,由得,所以,所以直线的斜率为.∴直线的方程为,整理得①,同理可得的方程为②,∵,均过,∴,∴直线既过,也过,∴直线的方程为:,设与轴交于点,则,所以,在①式中令,∴,同理,∴,∴.(2)仿照(1)知方程为,,,,,由∴.∵为的垂心,设,,,由,∴,∴,故的垂心在定直线上.20.已知①如图,长,宽为的矩形,以、为焦点的椭圆恰好过两点②设圆的圆心为,直线过点,且与轴不重合,直线交圆于两点,过点作的平行线交于,判断点的轨迹是否为椭圆(1)在①②两个条件中任选一个条件,求椭圆的标准方程;(2)根据(1)所得椭圆的标准方程,记,分别是椭圆与轴相交的下上顶点,若一直线交椭圆于两点,问是否存在直线使得为的垂心.若存在请求出直线的方程,若不存在请说明理由.【解析】(1)选择条件①:由题意得,由已知条件,故M轨迹为椭圆,标准方程为.选择条件②:∥,故,,又,所以根据椭圆的定义可得M点是以,为焦点的椭圆,其中,又直线与轴不重合,故M不在x轴上,故,则M点的轨迹方程为:不是椭圆;(2)假设存在直线交椭圆于P、Q两点,且B恰好为的垂心,则设,,,,,,于是设直线方程为,联立直线和椭圆方程可得:,,根据韦达定理可知又,,,根据,,代入得到,将韦达定理代入上式可得整理后可得,解得(舍去),,所以存在直线,且直线方程为.21.椭圆长轴端点为,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且,.(1)求椭圆的标准方程;(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于两点,问:是否存在直线l,使点F恰为的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为,因为,所以.因为,所以,即,即,所以,所以椭圆方程为.(2)假设存在直线l交椭圆于两点,使点F恰为的垂心.设,因为,所以,所以设直线的方程为,由,得,所以,.因为F为的垂心,所以,即,所以,所以,解得或(舍),经检验满足.所以存在直线l交椭圆于两点,使点F恰为的垂心,且直线l的方程为.22.如图,已知直线与抛物线相交于两点,,且.(1)证明:直线AB经过一个定点,并求出定点坐标;(2)设动点P满足的垂心恰好是,记点C到直线AB距离为d,若,求实数的值.【解析】(1)联立与消去化简整理得:.设,,则,.由可知.又,,所以,所以,即,所以.所以直线,即,所以它经过定点.(2)由(1)可知:.因为E是的垂心,所以,且.由得,即①.设,则②,又,,所以③,由①②③得:,即,同理:由可得:.所以,是方程的两组解,故此方程表示直线.又因为直线,所以,,解得:,.所以.所以.①当时,,解得.②当时,,解得.综上所述:,或.

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