高考数学专题04 椭圆中的定点、定值、定直线问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析

2023-11-09 · U1 上传 · 17页 · 1.2 M

专题04椭圆中的定点、定值、定直线问题一、单选题1.已知为椭圆的右焦点,点是直线上的动点,过点作椭圆的切线,,切点分别为,,则的值为()A.3 B.2 C.1 D.0【解析】由已知可得,设,则切线,的方程分别为,,因为切线,过点,所以,,所以直线的方程为,因为,所以,所以点在直线上,所以三点共线,所以,故选:D2.已知过原点的动直线l与椭圆交于A,B两点,D为椭圆C的上顶点,若直线,的斜率存在且分别为,,则()A. B. C. D.【解析】由题知,可设,,则,又在椭圆上,故,即,所以.3.已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点,且,则直线过定点()A. B. C. D.【解析】设直线的方程为,,则由整理得,所以,,因为,,,所以解得或,当时,直线的方程为,直线过点而,而不在同一直线上,不合题意;当时,直线的方程为,直线过,符合题意.故选:D.4.已知椭圆,圆,过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线,切点分别为,直线与轴,轴分别交于点,则( )A. B. C. D.【解析】设,则切线的方程为,切线的方程为,因为点在切线上,所以,,所以直线的方程为,所以,因为点在椭圆上,所以,所以,故选:D5.已知椭圆的左右顶点分别为,过轴上点作一直线与椭圆交于两点(异于),若直线和的交点为,记直线和的斜率分别为,则( )A. B.3 C. D.2【解析】设,,,设直线的方程:由和三点共线可知,解得:,,(*)联立,得,,,代入(*)得,,,.故选:A6.已知椭圆,过x轴上一定点N作直线l,交椭圆C于A,B两点,当直线l绕点N任意旋转时,有(其中t为定值),则()A. B. C. D.【解析】设点当直线与轴不重合时,设的方程为,代入椭圆方程,得:,即.当直线l绕点N任意旋转时,有(其中t为定值),当时,当时,,解得:代入当时,.故选:B.7.如图,,为椭圆的长轴的左、右端点,为坐标原点,,,为椭圆上不同于,的三点,直线,,,围成一个平行四边形,则()A. B.C. D.【解析】由可得:,所以,,设,则,,直线,的方程分别为,,则,,,由可得,,同理可得,,因此.故选:D.8.已知是椭圆上一点,,是椭圆的左,右焦点,点是的内心,延长交线段于,则的值为( )A. B. C. D.【解析】如图,点是椭圆上一点,过点M作BM垂直直线于点,过点I作垂直直线于点,设的内切圆半径为,则,由三角形面积相等即:得:又,故得:,所以,由椭圆方程得:,,,所以由与相似,可得:,令,则,可求得:,故选A.二、多选题9.已知,是椭圆:的左、右焦点,且,分别在椭圆的内接的与边上,圆是的内切圆,则下列说法正确的是()A.的周长为定值8B.当点与上顶点重合时,圆的方程为C.为定值D.当轴时,线段交轴于点,则【解析】对于A:连接,根据椭圆的定义得:,则的周长为,故选项A错误;对于B:当点与上顶点重合时,此时,,直线:,与椭圆的方程联立得可得,利用对称性知,,,,设的内切圆的半径为,,即,解得,故选项B错误;对于C:设直线:,与椭圆的方程联立得,设,,则,,得,同理可得,所以,故选项C正确;对于D:当轴时,,,又因为,直线:,与椭圆的方程联立得,所以直线:,令,得点横坐标为4,于是,故选项D正确,故选:CD.10.已知椭圆的离心率为,的三个顶点都在椭圆上,为坐标原点,设它的三条边,,的中点分别为,,,且三条边所在直线的斜率分别,,,且,,均不为,则()A.B.直线与直线的斜率之积为C.直线与直线的斜率之积为D.若直线,,的斜率之和为,则的值为【解析】对于A:因为椭圆的离心率,所以,因为,所以,故选项A正确;对于B:设,,,则,,所以,,两式相减可得:,即,所以,,故选项B不正确;对于C:由选项B同理可得,故选项C正确;对于D:由选项B同理可知,可得,,由已知可得,即,所以,故选项D正确;故选:ACD.11.已知椭圆的左、右焦点分别是,,左、右顶点分别是,,点是椭圆上异于,的任意一点,则下列说法正确的是()A.B.直线与直线的斜率之积为C.存在点满足D.若的面积为,则点的横坐标为【解析】由题意,,,,,短轴一个顶点,,A错;设,则,,所以,B正确;因为,所以,从而,而是椭圆上任一点时,当是短轴端点时最大,因此不存在点满足,C错;,,,则,,D正确.故选:BD.12.如图,已知椭圆的左、右顶点分别是,上顶点为,在椭圆上任取一点,连结交直线于点,连结交于点(是坐标原点),则下列结论正确的是()A.为定值 B.C. D.的最大值为【解析】椭圆的左右顶点分别,因为点在椭圆上,所以设点的坐标为,,对于A,,所以A正确;对于B,因为,所以直线为,令,得,所以点的坐标为,所以,所以,所以B正确;对于C,因为,所以,所以,所以C正确;对于D,直线为,直线为,由两直线的方程联立方程组,解得,所以点的坐标为,因为,所以,当时,所以的最大值为错误,故选:ABC三、填空题13.已知椭圆的左顶点为A,过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点,直线AM、AN的斜率记为,满足,则直线MN经过的定点为___________.【解析】由题意,椭圆的左顶点为(-4,0),设,由,则,由,因为,所以,则,所以,于是,化简得:,令,所以直线MN经过轴上的定点.14.椭圆:的左顶点为,点是椭圆上的两个动点,若直线的斜率乘积为定值,则动直线恒过定点的坐标为__________.【解析】当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y=kx+m,由,消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,又A(﹣2,0),由题知kAB•kAC==﹣,则(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠﹣2,则x1•x2+2(x1+x2)+4+4(kx1+m)(kx2+m)=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4=+(2+4km)+4m2+4=0则m2﹣km﹣2k2=0,∴(m﹣2k)(m+k)=0,∴m=2k或m=﹣k.当m=2k时,直线BC的方程为y=kx+2k=k(x+2).此时直线BC过定点(﹣2,0),显然不适合题意.当m=﹣k时,直线BC的方程为y=kx﹣k=k(x﹣1),此时直线BC过定点(1,0).当直线BC的斜率不存在时,若直线BC过定点(1,0),B、C点的坐标分别为(1,),(1,﹣),满足kAB•kAC=﹣.综上,直线BC过定点(1,0).15.已知椭圆与直线,,过椭圆上一点作的平行线,分别交于两点,若为定值,则__________.【解析】当点时,过椭圆上点作的平行线分别为,联立,可得,同理可得,所以,当点时,过椭圆上点作的平行线分别为,联立,可得,同理可得,所以,所以为定值,则,所以.16.已知椭圆与y轴交于点M,N,直线交椭圆于两点,P是椭圆上异于的点,点Q满足,则__________【解析】由题意知,联立与,,不妨设,不妨设,因为点Q满足,根据椭圆的对称性,所以,又不妨设,,所以.四、解答题17.在平面直角坐标系中,已知点,直线,动点到点的距离与到直线的距离之比为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设曲线与轴交于、两点,过定点的直线与曲线交于、两点(与、不重合),证明:直线,的交点在定直线上.【解析】(1)设,根据题意,,整理得所以动点的轨迹是椭圆,方程为.(2)由题意知,直线的斜率不为,设过点的直线方程为,代入椭圆的方程,整理得,因为,所以设,,,则,①,由(1)得,,则直线的方程为,直线的方程为,联立两直线方程,消去整理得,②将,代入②整理得,③把①式代入③,整理得,即直线与直线的交点的横坐标恒等于所以直线,的交点恒在定直线上.18.已知椭圆:的左右顶点分别为,,右焦点为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若直线:与椭圆交于,两点,已知直线与相交于点,证明:点在定直线上,并求出此定直线的方程.【解析】(1)因为,所以c=1,由题意知:,解得,则椭圆的方程为:.(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线l过椭圆上顶点,则,则,而,其交点,所以G在定直线x=1上;当M不在椭圆顶点时,设,由,整理得:,则,当x=1时,,得,得,得,上式显然成立,所以G在定直线x=1上.19.椭圆的离心率,,分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上任意一点,面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于,两点,过点作直线的垂线,垂足为,证明:直线与轴的交点为定点.【解析】(1)当点为椭圆上下顶点时,的面积最大,即又,,故,,椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,,,则由得,,直线的方程为令得又,,故,即直线与轴的交点为定点.20.已知椭的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点,,交轴于点,为线段的中点,且为垂足.问:是否存在定点,使得的长为定值?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得:,,化简得,故的方程为:将代入椭圆的方程得:,所以,解得:,所以,所以椭圆的方程:;(2)设,,,直线的方程为,则直线与轴的交点为由,,得又,,所以,故的方程为,由得:,所以直线的方程为,即,所以直线过定点,所以在以为直径的圆上,所以存在定点,使的长为定值.21.已知椭圆过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过作斜率分别为的两条直线,分别交椭圆于点,且,证明:直线过定点.【解析】(1)椭圆过点,即,;,又,,椭圆的方程为:.(2)当直线斜率不存在时,设直线方程为,则,则,,解得:,直线方程为;当直线斜率存在时,设直线方程为,联立方程组得:,设,则,(*),则,将*式代入化简可得:,即,整理得:,代入直线方程得:,即,联立方程组,解得:,,直线恒过定点;综上所述:直线恒过定点.22.已知椭圆:的右焦点为,点在上,为椭圆的半焦距.(1)求椭圆的标准方程;(2)若经过的直线与交于,(异于)两点,与直线交于点,设,,的斜率分别为,,,求证:.【解析】(1)解:因为椭圆:的右焦点为,所以.①因为点在上,所以,②又,③由①②③,解得,.故椭圆的标准方程为.(2)证明:,设,,直线,则.由消去得,所以,,所以,又因为,所以,命题得证.

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