高考数学专题16 圆锥曲线与重心问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）

专题16圆锥曲线与重心问题一、单选题1．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【解析】设，又由原点是的重心，得，即，又是椭圆上的点，，作差可得：，即，即，，故选：D2．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【解析】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率.故选：C.3．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（）A． B． C． D．【解析】由于点P为椭圆上一点，，，又，故为等腰三角形，以为底的高为：，故，，故选：C4．已知A是双曲线的左顶点，分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是的重心，若，则为（）A． B． C． D．与的取值有关【解析】因为G是的重心，所以，又因，所以，，，，又，，．故选：B．5．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【解析】如图所示：因为，所以，所以，，所以，又，解得，设，，所以.所以，解得，所以，代入双曲线方程得：，解得，所以.故选：C6．已知的三个顶点都在抛物线：，且，抛物线的焦点为的重心，则（）A．40 B．38 C．36 D．34【解析】由题意知，解得，所以．设，，则由三角形的重心坐标公式得，化简得，根据抛物线的定义，得，故选：B．7．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（）A．3 B． C．1 D．0【解析】设，，则，，两式相减，得，则，设，同理可得，，因为焦点是的重心，所以，则，故选：D.8．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（）A．2 B． C． D．【解析】由题意，抛物线为，可令直线为，若，，∴联立直线与抛物线得且，则，∴，又的重心为点，即，∴，则到直线的距离，∴当时，.故选：C.二、多选题9．椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（）A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是C．取值范围是 D．【解析】设重心，又，∴，即，又是椭圆上一点，∴，即，故A正确；∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为，∴，故B错误；根据内角平分线定理可知，，又，∴，故C正确；同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，∴，故D正确.故选：ACD.10．若双曲线，分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（）A．双曲线的离心率为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则.D．存在点，使得【解析】由题意，双曲线，可得，则离心率为，所以A正确；设，的内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，可得，由双曲线的定义可得，即，又由，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，所以B不正确；由且，解得，则，可得，所以，同理可得，设直线，直线，联立方程组，求得，设的内切圆的半径为，则，解得，即有，可得，由，可得，解得，可得，所以C正确；设，则，设的内切圆的半径为，则，于是，可得，若，可得，即，又由，联立可得，因此，解得，即存在点，使得，所以D正确.故选：ACD.11．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．【解析】设，由，得，得，由，得，得，由，得，得，，，，若为重心、为外心、为垂心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得不成立；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心，为垂心、为外心，则，，化简得，此时双曲线的离心率；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得或，此时双曲线的离心率或，若为重心，为垂心、为外心，则，所以，化简得或都不成立.综上所述：或或或.故选：ABD12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上点到直线的最大距离为B．圆上点到直线的最小距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是【解析】因为，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，由，点可得的中点为，且，所以线段的中垂线方程为：，即，因为三角形的“欧拉线”与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以圆的方程为：，因为圆心到直线的距离，A中，圆上点到直线的距离的最大值为，故A不正确：B中，圆上点到直线的距离的最小值为，故B正确；C中：令，所以，代入圆的方程，可得，整理可得，由于在圆上，所以有根，则，整理可得：，解得：，所以的最小值为1，即的最小值为1，所以C错误；D中：圆心坐标，半径为；圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距，所以，即解得：，解得，所以D正确；故选：BD．三、填空题13．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，若为的重心，则该双曲线的离心率为______.【解析】设，，，则由重心坐标公式可得解得∴点的坐标为.∵点在曲线上，∴，∴.∵（），∴，∴，∴，∴，∴，解得或（舍），∴.14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＋＝0.(*)因为△ABF1的重心为G，所以故代入(*)式得，所以＝＝，即a2＝3b2，所以椭圆C的离心率e＝.15．已知，，是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线，，的斜率存在且分别为，，，则______．【解析】设，，则，，两式相减，得，所以，设，同理可得，．由于焦点是的重心，所以，故．16．已知抛物线E：y2＝4x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上的三个动点，其中x1＜x2＜x3且y2＜0，若ABC的重心恰为抛物线E的焦点，且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列，则直线AC的斜率为_____.【解析】如图所示，设是抛物线的焦点，，由题得，所以，即，同理因为是ABC的重心，所以因为AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列，所以，所以.由题得.所以因为，，所以直线AC的斜率为2.四、解答题17．在双曲线C：中，､分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I.（1）求内心I的横坐标；（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点与双曲线C交于M、N两点，若、的斜率、满足，求直线l的方程；（3）若，求点P的坐标.【解析】(1)依题意，双曲线C的焦点，作出的内切圆，I为圆心，切点分别为S，K，T，如图：设点I的横坐标为t，显然x轴，，由双曲线定义知，解得，所以内心I的横坐标为2；(2)点，显然直线l不垂直于x轴，否则由双曲线对称性得，设直线l的斜率为k，则直线l：，由消去y得：，显然，设，，则，解得，即直线l：，所以直线l的方程为；(3)设点，则的重心，因，则，而，，又，联立解得，从而有，解得，即点，所以点P的坐标为.18．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题可得抛物线的交点为，，则，所以椭圆的方程为；（2）可得，则直线的方程为，假设存在符合题意的直线，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得的重心坐标为，不满足在直线上，舍去；当直线的斜率存在时，设为，显然，则的方程为，设，联立方程得，则，要使的重心恰好在直线上，则，即，即，方程无解.综上，不存在满足条件的直线.19．若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.【解析】（1）设，，则，又，在椭圆上，∴，两式作差，整理得：，∴，又，∴，，故椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，与椭圆联立并整理得：，，∴，则，又恰为△的重心，故坐标为，即因为在椭圆上，即，解得，∴，而，，故；∴.20．已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.【解析】（1）为椭圆与抛物线的交点，；；又直线将的面积分为9：7两部分；，解之可得：，抛物线的方程为：；椭圆的方程为：（2）设，，由得由，得…（※），且由重心恰好在圆上，得即，即∴，化简得，代入（※）得，又设，，当且仅当时，取等号，∴，则实数的取值范围为或21．已知椭圆离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由【解析】（1）由题知：，解得，，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，轴，点在轴上，．点到的距离为，则．当直线的斜率存在时，设直线由消去，整理，设，，则有，，，所以，，因为为的重心，则由，点在椭圆上，则得，点到直线的距离为；所以；综上：为定值．22．设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线的标准方程；（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.【解析】（1）由题可知焦点为，故焦点在轴上，设双曲线的方程为是以直线与为渐近线，，，，双曲线方程为；（2）抛物线的焦点，，联立双曲线方程消得：，可得，与在第一象限内有两个公共点和，，设，则将代入得，函数的对称轴为，，时，的最大值为9；（3）由（2）知的重心为，，，，假设恰好在双曲线的渐近线上，代入可得，，或，，存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上