高考数学专题01 直线与椭圆的位置关系-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 13页 · 925.4 K

专题01直线与椭圆位置关系一、单选题1.已知曲线上任意一点满足,则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是( )A. B. C. D.【解析】设,则,点的轨迹是以,为焦点的椭圆.曲线的方程是:设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由得,,,,当时,,;当时,,;又中靠近的点应该在椭圆的下方,曲线上到直线的距离最近的点的坐标是.故选:2.直线x-y+1=0被椭圆+y2=1所截得的弦长|AB|等于()A. B. C. D.【解析】由得交点为(0,1),,则|AB|==.故选:A.3.椭圆与直线交于、两点,过原点与线段中点的直线的斜率为,则的值为().A. B. C. D.【解析】联立椭圆方程与直线方程,得,,,,,,中点坐标:,中点与原点连线的斜率.故选:A4.已知F是椭圆的一个焦点,AB为过椭圆中心的一条弦,则△ABF面积的最大值为()A.6 B.15 C.20 D.12【解析】显然直线AB不垂直y轴,椭圆中心为原点O,设直线AB的方程为:x=my,由消去y得:,设,由椭圆对称性,不妨令,焦点,△ABF的面积,当且仅当时取“=”,所以△ABF面积的最大值为12.故选:D5.已知椭圆,直线,则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为()A. B. C. D.【解析】设与直线平行的直线:,联立,消可得,,解得,所以所求直线为或,直线与直线的距离为.直线与直线的距离为.所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为,故选:C6.直线被椭圆截得最长的弦为()A. B. C. D.【解析】联立直线和椭圆,可得,解得或,则弦长,令,则,当,即,取得最大值,故选:B7.已知F是椭圆的下焦点,过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则面积的取值范围是()A. B. C. D.【解析】由椭圆的方程可得,,所以,所以下焦点,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:,设,,联立,整理可得:,可得:,,所以,设,则,因为,所以单调递增,所以,所以,故选:C.8.已知椭圆的一个顶点为,离心率为,直线与椭圆交于不同的两点,.当的面积为时,则的值为().A. B. C. D.【解析】由知椭圆焦点在x轴上,故,,椭圆方程为,设,则B在直线上,,,联立,化简得,则,,则的面积为,解得,故选:C.二、多选题9.已知为椭圆:的左焦点,直线:与椭圆交于,两点,轴,垂足为,与椭圆的另一个交点为,则()A.的最小值为2 B.面积的最大值为C.直线的斜率为 D.为钝角【解析】对于A,设椭圆的右焦点为,连接,,则四边形为平行四边形,,,当且仅当时等号成立,A错误;对于B,由得,,的面积,当且仅当时等号成立,B正确;对于C,设,则,,故直线的斜率,C正确;对于D,设,直线的斜率额为,直线的斜率为,则,又点和点在椭圆上,①,②,①②得,易知,则,得,,,D错误.故选:BC.10.若直线l被圆所截得的弦长不小于,则在下列曲线中,与直线l一定会有公共点的曲线是()A. B. C. D.【解析】设直线l的方程为,由题知,圆M的圆心到直线l的距离为,对于A,∵抛物线,开口向右,顶点在原点,∴取直线l为,易知直线与抛物线无交点,故A错误.对于B,满足到圆M的圆心距小于等于1的点的轨迹为单位圆围成的封闭区域,直线l一定过这个单位圆内的一点,椭圆的,,所以单位圆一定在椭圆内部,故直线l一定与椭圆相交,故B正确.对于C,双曲线的顶点坐标为,开口向左右两边,同样取直线l为,易知直线与双曲线无交点,故C错误.对于D,单位圆圆心到圆的圆心的距离为1,小于两圆半径差,故两圆呈内含关系,直线l一定过圆内一点,故直线l一定与圆相交.故D正确.故选:BD.11.已知P是椭圆上任意一点,M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线的斜率分别为,,若的最小值为1,则下列结论正确的是()A.椭圆E的方程为B.椭圆E的离心率为C.曲线经过E的一个焦点D.直线与E有两个公共点【解析】设,则,所以.于是,当且仅当时取等号,依题意,得,解得,故E的方程为,A正确;离心率为,B错误;焦点为,曲线经过焦点,C正确;直线过点,且点在E内,故直线与E有两个公共点,D正确.故选:ACD.12.已知椭圆:的左、右两个焦点分别为,,直线与交于,两点,轴,垂足为,直线与的另一个交点为,则下列结论正确的是A.四边形为平行四边形 B.C.直线的斜率为 D.【解析】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.故A正确.对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.对C,如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.对D,设则.又由C可知直线的斜率为,故.所以.故.故D错误.故选:ABC三、填空题13.当k变化时,直线与椭圆总有公共点,则m的取值范围是___________【解析】直线过定点,因为直线与椭圆总有公共点,所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即,且,解得且,故答案为:且14.直线交抛物线于A,B两点.若AB的中点横坐标为2,则弦长为______【解析】设,易知k=0不合题意,将直线代入抛物线方程得:,所以,因为AB的中点横坐标为2,所以,所以,则.15.已知,则的最值为_________.【解析】满足题设的点的轨迹是定点,的距离之和为定长20的椭圆,此椭圆的中心在、长半轴a满足,即.线段长为,即,所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知,使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.即,解得.椭圆上任意一点均满足.由,得的最大值为,最小值为.16.已知椭圆:的右焦点为,若过的直线与椭圆交于,两点,则的取值范围是______.【解析】由椭圆性质可知,当,分别为椭圆的顶点时,取最值.当为椭圆的右顶点时,最小,此时,此时恰为椭圆的左顶点,最大,此时,此时的最小值为,同理可得的最大值为2,即的取值范围是.四、解答题17.椭圆经过点,离心率为,左、右焦点分别为(1)求椭圆的方程(2)斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点,当时,求直线的方程【解析】(1)因为椭圆经过点,离心率为,所以,,因为,所以得,所以椭圆方程为,(2)设直线l为,设,由,得,由,得,由根与系数的关系得,因为所以,解得,所以直线的方程为或18.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且该椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆左焦点为F,过F作直线l与椭圆交于A、B两点,若弦AB中点在直线上,求直线l的方程.【解析】(1)方法一:由题意,椭圆与双曲线有相同的焦点为,设椭圆的方程为:,因为椭圆过点,可得,又由及,解得,,所以椭圆的方程为.方法二:由题意,椭圆与双曲线有相同的焦点为,所以,得,所以,所以椭圆的方程为.(2)当直线与x轴重合时不满足题意;当直线与x轴不重合时,设直线方程为,由,消化简得,设,得,因为弦中点在直线,所以解得,所以直线的方程为或.19.设椭圆:的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设,分别为椭圆的左、右顶点,过点且斜率为的直线与椭圆交于点,两点,且,求的值.【解析】(1)设F(-c,0),由,知.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有,解得,于是,解得,又,从而,c=1,所以椭圆的方程为.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.求解可得x1+x2=,x1x2=.因为A(,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=.由已知得,解得k=.20.已知以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴的椭圆经过点,.(1)求椭圆的标准方程.(2)设过点的直线与交于,两点,点在轴上,且,是否存在常数使?如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的标准方程为,因点,在椭圆上,则有,解得,,所以椭圆的标准方程为;(2)显然点为椭圆的右焦点,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,由消去y并整理得:,设,,则,,于是得,而,则线段的中点坐标为,因为点在轴上,且,则为线段的垂直平分线与轴的交点,当时,,,则,当时,线段的垂直平分线方程为,令,得,即,则有,于是得,当直线的斜率不存在时,,取或能满足,综上所述,存在实数满足题意.21.已知椭圆:的上顶点与下顶点在直线:的两侧,且点到的距离是到的距离的倍.(1)求的值;(2)设与交于,两点,求证:直线与的斜率之和为定值.【解析】(1)由椭圆的方程可得,,由题意可得,解得或.当时,点,都在直线的下方,不符合题意,故.(2)联立消去可得,设,,则,.直线与的斜率之和.因此直线与的斜率之和为定值.22.已知椭圆的右焦点为,圆的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作互相垂直的两条直线,其中与圆相交于两点,与椭圆的一个交点为(不与重合),求的最大面积.【解析】(1)由圆的面积为,可得,即;又椭圆的右焦点为,故,联立方程组,解得,所以椭圆的方程为.(2)当直线的斜率存在且不为0时,可设,联立方程组,整理得,解得,,所以,而圆心到直线的距离,,所以,当且仅当,即时取等号;当直线的斜率不存在时,,可得,当直线的斜率为0时,重合,与题意不符;综上,的最大面积为5.

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