高考数学专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析

2023-11-09 · U1 上传 · 13页 · 858.3 K

专题02椭圆焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1.已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点,交椭圆于两点,则弦的长为()A. B. C. D.【解析】由椭圆得,,所以,所以右焦点坐标为,则直线的方程为,设,联立,消y得,,则,所以.即弦长为.故选:C.2.经过椭圆(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为()A. B. C. D.【解析】将或代入椭圆的标准方程得,,解得,因此,过焦点且垂直于长轴的弦长是.故选:D.3.已知F是椭圆的一个焦点,AB为过椭圆中心的一条弦,则△ABF面积的最大值为()A.6 B.15 C.20 D.12【解析】显然直线AB不垂直y轴,椭圆中心为原点O,设直线AB的方程为:x=my,由消去y得:,设,由椭圆对称性,不妨令,焦点,△ABF的面积,当且仅当时取“=”,所以△ABF面积的最大值为12.故选:D4.设,是椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于,两点,则的最大值为()A.14 B.13 C.12 D.10【解析】因为,所以,所以当取最小值时,有最大值,当轴时,此时取最小值,且,所以的最大值为,故选:A.5.已知椭圆,过点的直线与椭圆相交于、两点,且弦被点平分,则直线的方程为()A. B.C. D.【解析】设点、,由已知可得,因为点、都在椭圆上,则,两式作差可得,即,所以,直线的斜率为,因此,直线的方程为,即.故选:C.6.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为,则的方程为()A. B. C. D.【解析】设点、,则,两个等式作差得,整理可得,设线段的中点为,即,另一方面,,所以,,所以,,解得,因此,椭圆的方程为.故选:D.7.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是()A. B. C. D.【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴,设l的方程为:x=my+c,由消去x并整理得:,设直线l与椭圆交于点,则有,则有,当且仅当时取“=”,于是,当,即直线l垂直于x轴时,,所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦,最短弦长是.故选:A8.过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线,交椭圆于两点,交椭圆于两点,则的取值范围是()A. B. C. D.【解析】当直线有一条斜率不存在时,不妨设直线斜率不存在,则直线斜率为0,此时,,所以,当直线的斜率都存在且不为0时,不妨设直线的斜率为k,则直线的斜率为,不妨设直线都过椭圆的右焦点,所以直线,直线,联立与椭圆T,可得,,,所以,同理,所以,令,因为,所以,所以=,令,因为,所以,所以,所以,所以,综上的取值范围是.故选:C二、多选题9.已知椭圆C:()的左、右焦点为F1,F2,O为坐标原点,直线过F2交C于A,B两点,若△AF1B的周长为8,则()A.椭圆焦距为 B.椭圆方程为C.弦长 D.【解析】因为的周长为8,所以,得,因为过右焦点F2,所以,所以,所以椭圆焦距为,故A错误;所以椭圆方程为,故B正确;设,由得,解得,,故C正确;原点到直线的距离为,所以,故D错误.故选:BC.10.已知椭圆的焦距为6,短轴为长轴的,直线与椭圆交于,两点,弦的中点为,则直线的方程为()A. B.C. D.【解析】由已知可得椭圆的,又长轴为短轴的,故椭圆方程为或,设弦的两端点为,,当椭圆方程为时,则有,两式相减得,整理得,∴弦所在的直线的斜率为,其方程为,整理得;当椭圆方程为时,则有,两式相减得,整理得,∴弦所在的直线的斜率为,其方程为,整理得.故选:AD.11.设椭圆的方程为,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是().A.直线AB与OM垂直;B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0;C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为D.若直线方程为y=x+2,则.【解析】对于A项,因为在椭圆中,根据椭圆的中点弦的性质,所以A项不正确;对于B项,根据,所以,所以直线方程为,即,所以B项正确;对于C项,若直线方程为,点,则,所以C项不正确;对于D项,若直线方程为,与椭圆方程联立,得到,整理得:,解得,所以,所以D正确;故选BD.12.已知椭圆:的右焦点为,过点的两条互相垂直的直线,,与椭圆相交于点,,与椭圆相交于点,,则下列叙述正确的是()A.存在直线,使得值为7B.存在直线,使得值为C.弦长存在最大值,且最大值为4D.弦长不存在最小值【解析】当直线,一个斜率为零一个斜率不存在时,可得即为长轴,为通径,则,则A是正确的;当直线,的斜率都存在时,不妨令直线的斜率为,由题意知的直线方程为,联立方程消去得,设,,由韦达定理知:,,所以,同理,特别地当时,,即,则正确;由,故当时,取到最大值,则C正确;由,但当弦的斜率不存在时,,故存在最小值,故D选项不对,故选:ABC.三、填空题13.直线交抛物线于A,B两点.若AB的中点横坐标为2,则弦长为______【解析】设,易知k=0不合题意,将直线代入抛物线方程得:,所以,因为AB的中点横坐标为2,所以,所以,则.14.已知椭圆的左焦点为,右焦点为,过作x轴的垂线与椭圆相交于A,B两点,则的面积为________.【解析】由椭圆,则,,所以,所以椭圆的左、右焦点,,即,过作x轴的垂线与椭圆相交于A,B两点,易知与椭圆交于A,B两点,将代入椭圆,解得,所以,即.15.椭圆的右焦点为,,为轴上的两个动点,若,则面积的最小值为______.【解析】不妨设点,.由题知,,又,,即,所以.设的面积为,,则,,当且仅当时等号成立,所以面积的最小值为2.16.已知是椭圆的左、右焦点,在椭圆上运动,当的值最小时,的面积为_______.【解析】由椭圆定义可知,,所以,,当且仅当,即时取“=”.又,所以.所以,由勾股定理可知:,所以.四、解答题17.已知椭圆的短轴长为,焦点坐标分别是和.(1)求这个椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆交于、两点,且中点为,求直线的方程.【解析】∵焦点坐标分别是和,∴椭圆的焦点在x轴上,中心为原点,故可设椭圆方程为,且,又椭圆的短轴长为,∴,又,∴,∴椭圆的标准方程为,(2)设,∵P,Q都在椭圆上,∴,,相减可得,又中点为,∴,∴,即直线的斜率为,∴直线的方程为,即.18.已知椭圆,离心率为,点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若,过的直线l交椭圆C于M、N两点,且直线l倾斜角为,求的面积.【解析】(1)由题设,,则,故,∴椭圆C的标准方程为.(2)由题设易知:直线l为,联立椭圆并整理得:,∴,,则,到的距离为,∴19.椭圆经过点,离心率为,左、右焦点分别为(1)求椭圆的方程(2)斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点,当时,求直线的方程【解析】(1)因为椭圆经过点,离心率为,所以,,因为,所以得,所以椭圆方程为,(2)设直线l为,设,由,得,由,得,由根与系数的关系得,因为,所以,解得,所以直线的方程为或20.已知椭圆:的一个顶点为,离心率为,直线与椭圆交于不同的两点,.(1)求椭圆的方程;(2)求面积的最大值,并求此时直线的方程.【解析】(1)由题意得,解得,∴,所以椭圆C的方程为.(2)由得,.设,,则,,∴,又点到直线的距离为.所以的面积为,当且仅当即时,的面积有最大值为1,此时直线的方程为.21.已知椭圆C:的离心率,直线l过点和,且坐标原点O到直线l的距离为.(1)求的长;(2)过点的直线m与椭圆C交于、两点,当面积大时,求的值.【解析】(1)因为直线l过点和,所以直线的方程为,所以坐标原点O到直线l的距离,又离心率,且,解得,即,所以椭圆方程为,;(2)设直线,,,联立消去得,所以,,所以当且仅当即时取等号,即,所以22.已知椭圆:的左右焦点分别为,左顶点为,离心率为,上顶点,的面积为(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆相交于不同的两点,是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点,求的取值范围.【解析】(1)由已知,有.又,∴,∵,∴.∴椭圆的方程为(2)①当时,点即为坐标原点,点即为点,则,.∴.②当时,直线的方程为.则直线的方程为,即.设,.联立方程消去得此时∴∴∵为点到直线的距离,∴又为点到直线的距离,∴∴,令,则.∴即时,综上,可知的取值范围是.

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