高考数学专题18 环排问题（解析版）

专题18环排问题例1．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A．19 B．38 C．51 D．57【答案】D【解析】【详解】根据题意21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列,剩下1人．在这个过程中一共报数：21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D．点睛：解答本题的关键是充分借助题设条件中提供的操作程序，逐一求出报数的人数，再将其加起来求出其和就是21+15+9+6+3+3=57人次，从而使得问题获解．体现了思维的重要性和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．例2．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ）A．60种 B．48种 C．30种 D．24种【答案】B【解析】【分析】B、C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B、C可以交换，有种情况，其余三人坐剩余的三把椅子，有种情况，利用乘法计数原理可得结论.【详解】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，故选B.【点睛】该题考查的是有关具有限制条件的排列数的问题，涉及到的知识点有特殊元素优先原则，相邻问题捆绑法，注意不要忽略其内部排列，属于简单题目.例3．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（       ）．A．6种 B．8种 C．12种 D．16种【答案】B【解析】【分析】甲比较特殊，先安排甲，随着甲的安排乙也确定了，然后剩下位置给丙丁即可.【详解】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．故选：B．例4．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．【答案】86400【解析】【分析】分三步，先将5个女孩圆排列，再把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组，最后把这5组放入已成圆排列的5个间隔即可得解.【详解】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种).故答案为：86400例5．、、、四个人围成一圈，确定好自己的位置后，、、三人随机站到其他三个位置上，则与不相邻的的坐法有__________.【答案】2【解析】计算出、、三人随机站到三个位置的坐法种数，以及、不相邻的坐法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】若与分别站在的两边，则与不相邻的坐法有种，故答案为：2.【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.例6．10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为       __________【答案】（【解析】【详解】10位男生全排列：，10位女生全排列：.因为是围成一圈，所以不分头尾，只需即可.故答案为:.例7．一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.【答案】【解析】【分析】分学生选择相邻的四个偶数、学生选择三个相邻的偶数，另一个学生坐对面、四个学生每两个学生选择相邻偶数三种情况，求出学生的坐法，家长的坐法、四组家长学生全排列，由分步乘法计数原理和分类加法计算原理即可求解.【详解】当学生选择相邻的四个偶数有，，，，，有种，以学生选为例，家长的排法有，，，有种，同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种，当学生选择三个相邻的偶数，一个学生坐对面有，，，，，有种，以学生选择为例，家长的坐法有，，，，，，，，共种，同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种，当四个学生每两个学生选择相邻偶数时，学生有，，有种，以学生选择为例，家长坐法有：，，，，，，，，有种，同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种，综上所述：满足要求的坐法共有种，故答案为：.例8．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）【答案】8【解析】【分析】先安排甲，有种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有种方法，最后根据分步乘法计数原理可得所求结果．【详解】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．故答案为8．【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．例9．有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？【答案】768【解析】【分析】利用排列和捆绑法可求不同的站法.【详解】把每对姐妹看成一个整体，让5个整体站成一圈，共有种，每对姐妹之间可以交换次序，故不同站法共有．例10．有个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？【答案】种【解析】【分析】分析可知，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以就可以了，即可得解.【详解】将个人进行编号为，按照一定的顺序站成一圈，就形成了一个圆排列，分别以、、、、、、、、、号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到种排列：、、、、、、、、、；；、、、、、、、、、.这就是说，这个圆排列对应了个排列，因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以就可以了，即不同的坐法种数为种.例11．8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.（1）若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？（2）若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有多少种坐法？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若正、副组长相邻而坐，可将此人看作人，即可求解；（2）若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），可将人看作人，即可求解.【详解】（1）若正、副组长相邻而坐，可将此人看作人，即人围一圆桌，有种，由于正、副组长人可交换，有种，所以共有种，（2）若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），可将人看作人，即人围一圆桌，有种，因为正、副组长人可交换，有种，所以共有种.【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.例12．8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【答案】(1)1440种(2)240种【解析】【详解】试题分析：(1)正、副组长相邻而坐，可将此人当作人看，即人围一圆桌，有＝种坐法，又因为正、副组长人可换位，有种坐法，由分步计数乘法原理可得结果．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此人视作人，即人围一圆桌，有＝种坐法，又因为正、副组长人可以换位，有种坐法，根据分步计数乘法原理可得结果．试题解析：(1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．例13．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？【答案】（1）7680种；（2）1152种.【解析】【分析】(1)将一对夫妇视为一组，，视为一组，先将6组人圆排列，再对每一组内的两人调整位置，然后用分步乘法计数原理计算即得；(2)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.【详解】（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法，由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法；（2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定，第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法，第三步，排，二人的座位，有种坐法，根据分步乘法计数原理，共有种坐法．