高考数学专题15 隔板法模型（解析版）

专题15隔板法模型例1．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（       ）A．16 B．18 C．27 D．28【答案】B【解析】【分析】根据根据加法和乘法原理，结合组合的定义进行求解即可.【详解】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种.故选：B例2．展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（       ）A．12项 B．24项 C．39项 D．78项【答案】D【解析】【分析】展开之后必有形如的式子出现，且，构造14个完全一样的小球组合模型求解即可.【详解】展开之后必有形如的式子出现，其中，且.构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法种；每组去掉一个小球的数目分别为的展开式中各字母的次数；小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故的展开式中，合并同类项之后的项数为项.故选：D例3．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法．A．60种 B．36种 C．30种 D．15种【答案】D【解析】【分析】7个小球有6个空，采用插空法可求.【详解】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法.故选：D.例4．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ）A．720种 B．420种 C．120种 D．15种【答案】D【解析】【分析】先每人分一本书，再将剩下的7本书分给3人，每人至少一本，由“隔板法”可得答案.【详解】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，故选:D例5．方程的非负整数解有（       ）A．组 B．136组 C．190组 D．68组【答案】C【解析】【分析】根据题意，将问题转化，利用插空法分析即可得出答案.【详解】根据题意，对于方程，将“18”看成18个“1”，18个“1”共有19个空，从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板，即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值，则有.方程的非负整数解有190组.故选：C例6．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.由隔板法可知，不同的选购方法有种.故选：B.【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.例7．不定方程的非负整数解的个数为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将问题转化为将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数，进一步可将问题转化为将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，利用隔板法可得出结果.【详解】不定方程的非负整数解的个数将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程的非负整数解的个数为.故选：C.【点睛】本题考查不定方程解的个数问题，一般利用隔板法来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.例8．若方程，其中，则方程的正整数解的个数为A．10 B．15 C．20 D．30【答案】A【解析】【分析】将方程正整数解问题转化为排列组合问题，采用挡板法求出结果【详解】方程，其中，则将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为第二组小球数目为第三组小球数目为共有种方法故方程的正整数解的个数为10故选【点睛】本题主要考查了多元方程的正整数解的问题，在求解过程中将其转化为排列组合问题，运用挡板法求出结果，体现的转化的思想例9．中国足球超级联赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某赛季甲球队打完15场比赛后，球队积分是30分,则该队胜、负、平的情况共有A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【解析】【分析】首先该球队胜场、平场、负场，则是非负整数，根据题意可得方程组，然后根据取值范围，结合是非负整数即可求得结论.【详解】解：设该球队胜场、平场、负场，则是非负整数，且满足，由②得，代入①得，又，，，因为是非负整数，所以的值为，当时，，当时，；当时，；比赛结果是：胜场、平场、负场，胜场、平场、负场，或是胜场、平场、负场，故共种情况，故选：A.例10．设正整数，其中，，记.若且，则这样的正整数有___________个，所有的这样的正整数的和为___________.（用数字作答）【答案】        【解析】【分析】转化为在的整数解的组数，利用组合数公式可得出正整数的个数；分析可知满足的整数的个数均为，由此可得出满足条件的正整数的和为，利用等比数列的求和公式可得结果.【详解】转化为在的整数解的组数，所以，正整数的个数为个；在这个整数中，满足的整数有个，满足的整数有个，，满足的整数有个，因此，满足条件的正整数的和为.故答案为：；.例11．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，故答案为：10例12．某地举办庆祝建党周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种.【答案】【解析】【分析】先确定有个名额的参赛队伍，利用隔板法与分步乘法计数原理可得结果.【详解】有个名额的队伍只能有一个，有种，剩余个名额分给其他个队伍，由隔板法知有种，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.故答案为：.例13．泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.【答案】【解析】【分析】将问题转化为将个相同的小球放入个盒子，每个盒子至少一球，利用隔板法可得结果.【详解】问题等价于将个相同的小球放入个盒子，每个盒子至少一球，由隔板法可知，只需在中间个空中插入块板即可，因此，不同的方案种数为种.故答案为：.例14．已知，满足方程，则这个方程解的组数为________．（用数字作答）【答案】286【解析】【分析】由题意分解中没有0，有1个解为0，有2个解为0，有3个解为0四种情况求解即可【详解】解：当解中没有0时，相当于10个球分成4堆，则10个球中间有9个空，分成4堆也就是在其中插上3个板，有种，当有1个解为0时，相当于10个球分成三堆，但先要选出谁为0，所以共有种，当有2个解为0时，相当于10个球分成两堆，所以共有，当有3个解为0时，相当于10个球分成一堆，所以有，所以共有，这个方程解的组数为286组，故答案为：286例15．关于，，的方程（其中，，）的解共有_____组．【答案】15【解析】【分析】将7分解成为7个1，将这些1分为三组，每一组都不为0，则1的个数分别代表，，的值.【详解】将7分解成为7个1，现在将7个1分为三组，每一组都有1，则分组方式为，即关于，，的方程（其中，，）的解共有15组.故答案为：15.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解本题的实质是组合问题，将问题转化为熟悉的模型，利用隔板法即可求解.例16．6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____．【答案】10【解析】【详解】根据题意，先将6个小球排成一列，不含两端有5个空位．原问题可以转化为在5个空位中，任取2个插入挡板，有种方法.例17．在5月6日返校体检中，学号为（）的五位同学的体重增加量是集合中的元素，并满足，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有________种【答案】252【解析】【分析】按照五位同学的体重增加量数字的个数分五种情况讨论得解.【详解】当五位同学的体重增加量是1个数字时，有种情况；当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有种情况（类似隔板法，把五个同学按照的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有种方法，再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们，有种方法，即此时有种方法，下面操作方法都相同.）；当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有种情况；当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有种情况；当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有种情况.所以共有种不同的方法.故答案为：252【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.例18．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？【答案】(1)3876；(2)；(3)126．【解析】【分析】（1）由隔板法知，在19个空隙中放4个板子；（2）在24个空隙中放4个板子；（3）先在1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再将剩余的10个球利用隔板法分为5份.(1)把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；(2)由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；(3)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种.例19．方程（，）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？【答案】；【解析】【分析】求方程的正整数解的组数用隔板法即可求解，求其非正整数解的组数，由，设，即求的正整数的组数，用隔板法即可求解.【详解】将正整数看成个1的和，将这个1排成一排.在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有种不同的方法被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解.所以正整数解有个.由设即求的正整数的组数.将正整数看成个1的和，将这个1排成一排.在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有种不同的方法被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解.所以的正整数的个数为.即非正整数解有个.例20．已知不定方程，求：(1)不定方程正整数解的组数；(2)不定方程自然数解的组数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）将12看作12个1，再利用隔板法解答；（2）令，均为正整数，则不定方程的自然数解的组数即为不定方程的正整数解的组数，再利用隔板法解答.(1)12相当于12个1，将12个1用3块板子隔开即可可得不定方程正整数解的组数有种；(2)由得，令，均为正整数，则，则不定方程的自然数解的组数即为不定方程的正整数解的组数16相当于16个1，将16个1用3块板子隔开即可可得不定方程正整数