高考数学专题05 分堆问题（解析版）

专题05分堆问题例1．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（       ）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】C【解析】【分析】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.【详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，则有种分法，故选：C例2．2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（       ）A．18 B．27 C．36 D．48【答案】C【解析】【分析】由题意，把甲和乙看作一个元素，然后先分组再分配，即可求解．【详解】解：因为甲和乙选择同一个项目，所以把甲和乙看作一个元素与丙，丁，戊分配到三个项目，因为三个项目都有参加，所以有一个项目是2个元素，所以共有种方案.故选：C.例3．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（       ）A．156种 B．168种 C．172种 D．180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A例4．现将5名志愿者全部分派到A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1人，志愿者甲安排到A小区，则不同的安排方法种数为（       ）．A．56 B．50 C．62 D．36【答案】B【解析】【分析】三个居民小区的志愿者人数有（1、1、3）和（1、2、2）两种情况，再对小区安排的人数分类讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：依题意三个居民小区的志愿者人数有（1、1、3）和（1、2、2）两种情况，对于（1、1、3），①当小区安排3人，则有种方法；②当小区安排1人，则有种方法；对于（1、2、2），①当小区安排1人，则有种方法，②当小区安排2人，则有种方法，综上，一共有种方法；故选：B例5．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（       ）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种【答案】B【解析】【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故一共有：种分派方法故选：例6．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（       ）A．16种 B．36种 C．48种 D．60种【答案】B【解析】【分析】将4人分成3组，再分配到3个场馆，进而求得答案.【详解】先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有种不同的方案.故选：B.例7．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（       ）A．65 B．125 C．780 D．1560【答案】D【解析】【分析】6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，4组分配到4个大门有种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：.故选:D.例8．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于202年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项，其中七个大项分别为：滑雪、滑冰，雪车、雪撬，冰球、冰壶，冬季两项（越野滑雪射击比赛），现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙，丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分两步，第一步，将7张票分成3组，第二步，把3组票分给3个学校.【详解】先将7张票分成3组，张数为4、2、1，有种分法再把3组票分给3个学校，有种分法，故共有不同的分法数为故选：D例9．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（       ）A．91 B．101 C．111 D．121【答案】B【解析】【分析】先列出所有可能的组合，再分别计算.【详解】（1）若编号为，则有种，（2）若编号为，则有种，（3）若编号为，则有种，（4）若编号为，则有种，（5）若编号为，则有1种，所以不同的指派方法种数为种.故选：B.例10．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（       ）A．20种 B．14种 C．12种 D．10种【答案】B【解析】【分析】先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，共有种方案，再将两组同学分配到两个文明实践站有种，最后结合乘法原理求解即可.【详解】解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，当两组人数为1,3时，有种方案，当两组人数为2,2时，有种方案，所以将4名同学分为两组，共有种方案，再将两组同学分配到两个文明实践站，有种，所以根据乘法原理得共有种不同的方法.故选：B例11．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（       ）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种【答案】A【解析】【分析】由题设知分组方式为人数分别为{1,2,2}，应用排列组合数、部分平均分组求不同的安排方法数.【详解】由题设，将老师按各组人数{1,2,2}分组，∴不同的安排方法有种.故选：A.例12．北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）A．90种 B．125种 C．150种 D．243种【答案】C【解析】【分析】根据题意可先分组，分组可分3,1,1或2,2,1，分组后再分配即可.【详解】把5名同学分为3组，各组人数可为3，1，1或2，2，1.各组人数为3，1，l时，有种；各组人数为2，2，l时，有种;故不同的安排方法共有种，故选：C例13．要安排名学生到个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（     ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】【分析】先将名学生分为组，再将组学生分配到个乡村，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】先把名学生分成三组，三组人数分别为、、，再分配给个乡村，故方法数为.故选：C.例14．为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（       ）A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【解析】【分析】分①甲乙两人去一人，②甲乙两人都去两种情况讨论，再按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：①甲乙两人去一人，则有种；②甲乙两人都去，则有种，综上一共有种，故选：D例15．今日“小满”是二十四节气之一，古语言“小满小满，麦粒满满”，我县地区的冬小麦开始灌浆，并逐渐进入成熟收割的季节.为消除秸秆焚烧隐患，切实保护生态环境，县委县政府将其中4名干部派遣到3个行政村去落实工作，每名干部只去1个村，每个村至少安排1名干部，则不同的安排方法共有（       ）种.A．6 B．12 C．36 D．72【答案】C【解析】【分析】利用排列组合先分组再排列的方法求解即可.【详解】首先将4名干部分成3组，共有种方法，再将3个组分配到3个村共有种方法，所以共有种方法.故选：C例16．2019年实验中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4个，另两堆每堆2个，一共有多少种不同分堆方法（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用均分和不均分求分组方法种数.【详解】由条件可知，8套教具，分成4,2,2，共有种分法.故选：C例17．北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】先将个人分组，然后安排到个场馆，由此计算出不同的安排方法数.【详解】若个人分为，则安排方法数有种，若个人分为，则安排方法数有种，故不同的方法数有种.故答案为：例18．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：36例19．有本不同的书.(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人本，有几种分法？(2)若堆依次为本，本，本，本，有几种分法？(3)若平均分成堆，有几种方法（只要求列出算式）？【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）根据分步计数原理，分步进行分配，即可得到结果；（2）根据分步计数原理，分步进行分配，即可得到结果；（3）根据平均分堆的计算公式，直接计算即可.(1)根据题意，分步分析：①在本书中取出本，分给甲，有种取法，②在剩下的本书中取出本，分给乙，有种取法，③在剩下的本书中取出本，分给丙，有种取法，④将最后的本书交给丁，有种情况，则一共有种分法.(2)根据题意，分步分析：①在本书中取出本，作为第一堆，有种取法，②在剩下的本书中取出本，作为第二堆，有种取法，③在剩下的本书中取出本，作为第三堆，剩下的本作为第四堆，有种分法；则一共有种分法；(3)根据题意，将本不同的书，平均分成堆，每堆有本，则有种不同的分法.例20