1998年江西高考理科数学真题及答案一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1.(4分)sin330°等于( )A. B. C. D.2.(4分)函数y=a|x|(a>1)的图象是( )A. B. C. D.3.(4分)曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为( )A.(x+2)2+y2=4 B.(x﹣2)2+y2=4 C.(x+4)2+y2=16 D.(x﹣4)2+y2=164.(4分)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2﹣B1B2=0 C. D.5.(4分)函数f(x)(x≠0)的反函数f﹣1(x)=( )A.x(x≠0) B.(x≠0) C.﹣x(x≠0) D.(x≠0)6.(4分)若点P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.* B. C. D.7.(4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A.120° B.150° C.180° D.240°8.(4分)复数﹣i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )A.i B.i C.±i D.±i9.(4分)如果棱台的两底面积分别是S,S′,中截面的面积是S0,那么( )A.2 B.S0 C.2S0=S+S′ D.S02=2S'S10.(4分)向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的( )A. B. C. D.11.(4分)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )A.90种 B.180种 C.270种 D.540种12.(4分)椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍13.(4分)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )A.4 B.2 C.2 D.14.(4分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是( )A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin15.(4分)在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn,那么a1的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)16.(5分)已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 .17.(5分)(x+2)10(x2﹣1)的展开式中x10的系数为 (用数字作答).18.(5分)如图,在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)19.(5分)关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列命题:①由f(x1)=f(x2)=0可得x1﹣x2必是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;③y=f(x)的图象关于点对称;④y=f(x)的图象关于直线x对称.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题(共6小题,满分70分)20.(10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A﹣C.求sinB的值.以下公式供解题时参考:sinθ+sin∅=2sincos,sinθ﹣sin∅=2cossin,cosθ+cos∅=2coscos,cosθ﹣cos∅=﹣2sinsin.21.(12分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.22.(12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).23.(12分)已知如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离.24.(12分)设曲线C的方程是y=x3﹣x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.(1)写出曲线C1的方程;(2)证明曲线C与C1关于点A(,)对称;(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明st且t≠0.25.(12分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.1998年全国统一高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1.(4分)sin330°等于( )A. B. C. D.【解答】解:∵故选:B.2.(4分)函数y=a|x|(a>1)的图象是( )A. B. C. D.【解答】解:法一:由题设知y,又a>1.由指数函数图象易知答案为B.法二:因y=a|x|是偶函数,又a>1.所以a|x|≥1,排除AC.当x≥0,y=ax,由指数函数图象知选B.故选:B.3.(4分)曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为( )A.(x+2)2+y2=4 B.(x﹣2)2+y2=4 C.(x+4)2+y2=16 D.(x﹣4)2+y2=16【解答】解:将原极坐标方程ρ=4cosθ,化为:ρ2=4ρcosθ,化成直角坐标方程为:x2+y2﹣4x=0,即y2+(x﹣2)2=4.故选:B.4.(4分)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2﹣B1B2=0 C. D.【解答】解:直线A1x+B1y+C1=0的方向向量为(﹣B1,A1),直线A2x+B2y+C2=0的方向向量为(﹣B2,A2),两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直,就是两条直线的方向向量的数量积为0,即:(﹣B1,A1)(﹣B2,A2)=0可得A1A2+B1B2=0故选:A.5.(4分)函数f(x)(x≠0)的反函数f﹣1(x)=( )A.x(x≠0) B.(x≠0) C.﹣x(x≠0) D.(x≠0)【解答】由y得x且y≠0,所以反函数f﹣1(x)且x≠0故选则B6.(4分)若点P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.* B. C. D.【解答】解:∵⇒⇒故选:B.7.(4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A.120° B.150° C.180° D.240°【解答】解:圆锥的全面积是底面积的3倍,那么母线和底面半径的比为2,设圆锥底面半径为1,则圆锥母线长为2,圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π,该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角:π,即180°故选:C.8.(4分)复数﹣i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )A.i B.i C.±i D.±i【解答】解:∵﹣i=cosisin,其立方根是cosisin,k∈0,1,2,即i,i,i,故选:D.9.(4分)如果棱台的两底面积分别是S,S′,中截面的面积是S0,那么( )A.2 B.S0 C.2S0=S+S′ D.S02=2S'S【解答】解:不妨设棱台为三棱台,设棱台的高为2r,上部三棱锥的高为a,根据相似比的性质可得:,可得:消去r,可得2故选:A.10.(4分)向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的( )A. B. C. D.【解答】解:如果水瓶形状是圆柱,V=πr2h,r不变,V是h的正比例函数,其图象应该是过原点的直线,与已知图象不符.故D错;由已知函数图可以看出,随着高度h的增加V也增加,但随h变大,每单位高度的增加,体积V的增加量变小,图象上升趋势变缓,其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小.故A、C错.故选:B.11.(4分)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )A.90种 B.180种 C.270种 D.540种【解答】解:三所学校依次选医生、护士,不同的分配方法共有:C31C62C21C42=540种.故选:D.12.(4分)椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍【解答】解:由题设知F1(﹣3,0),F2(3,0),如图,设P点的坐标是(x,y),线段PF1的中点坐标为(,)∵线段PF1的中点M在y轴上,∴0∴x=3将P(3,y)代入椭圆1,得到y2.∴|PF1|,|PF2|.∴.故选:A.13.(4分)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )A.4 B.2 C.2 D.【解答】解法一:过O作OO′⊥平面ABC,O′是垂足,则O′是△ABC的中心,则O′A=r=2,又因为∠AOC=θ,OA=OC知OA=AC<2O′A.其次,OA是Rt△OO′A的斜边,故OA>O′A.所以O′A<OA<2O′A.因为OA=R,所以2<R<4.因此,排除A、C、D,得B.解法二:在正三角形ABC中,应用正弦定理,得AB=2rsin60°=2.因为∠AOB=θ,所以侧面AOB是正三角形,得球半径R=OA=AB=2.解法三:因为正三角形ABC的外径r=2,故高ADr=3,D是BC的中点.在△OBC中,BO=CO=R,∠BOC,所以BC=BO=R,BDBCR.在Rt△ABD中,AB=BC=R,所以由AB2=BD2+AD2,得R2R2+9,所以R=2.故选:B.14.(4分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是( )A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin【解答】解:设Rt△ABC中,C,则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin2B=sinA,即cos2A=sinA,1﹣sin2A=sinA,解得sinA或sinA(舍).故选:B.15.(4分)在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn,那么a1的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)【解答】解:由题意知Sn,∴a12=1﹣q,∵a1>1,|q|<1,∴1<a12<2,∴.故选:D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)16.(5分)已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 .【解答】解:由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±).∴它到中心(0,0)的距离为d.故答案为:.17.(5分)(x+2)10(x2﹣1)的展开式中x10的系数为 179 (用数字作答).【解答】解:(x+2)10(x2﹣1)=x2(x+2)10﹣(x+2)10∴(x+2)10(x2﹣1)的展开式中x10的系数是(x+2)10展开式的
1998年江西高考理科数学真题及答案
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