2003年江西高考文科数学真题及答案

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2003年江西高考文科数学真题及答案一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)直线y=2x关于x轴对称的直线方程为( )A. B. C.y=﹣2x D.y=2x2.(5分)已知x∈(,0),cosx,则tan2x等于( )A. B. C. D.3.(5分)抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣84.(5分)等差数列{an}中,已知a1,a2+a5=4,an=33,则n为( )A.48 B.49 C.50 D.515.(5分)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.6.(5分)设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)7.(5分)已知f(x5)=lgx,则f(2)=( )A.lg2 B.lg32 C. D.8.(5分)函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=( )A.0 B. C. D.π9.(5分)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x﹣y+3=0的距离为1,则a=( )A. B. C. D.10.(5分)已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为,该圆柱的全面积为( )A.2πR2 B. C. D.11.(5分)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)若P4与P0重合,则tgθ=( )A. B. C. D.112.(5分)棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )A.3π B.4π C.3 D.6π二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)不等式的解集是 .14.(4分)在的展开式中,x3的系数是 (用数字作答)15.(4分)在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 .”16.(4分)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答)三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线;(2)求点D1到面BDE的距离.18.(12分)已知复数z的辐角为60°,且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项.求|z|.19.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2).(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)证明.20.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)在给出的直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间上的图象.21.(12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?22.(14分)已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. 2003年全国统一高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)直线y=2x关于x轴对称的直线方程为( )A. B. C.y=﹣2x D.y=2x【解答】解:∵直线y=f(x)关于x对称的直线方程为y=﹣f(x),∴直线y=2x关于x对称的直线方程为:y=﹣2x.故选:C.2.(5分)已知x∈(,0),cosx,则tan2x等于( )A. B. C. D.【解答】解:∵cosx,x∈(,0),∴sinx.∴tanx.∴tan2x.故选:D.3.(5分)抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣8【解答】解:抛物线y=ax2的标准方程是x2y,则其准线方程为y2,所以a.故选:B.4.(5分)等差数列{an}中,已知a1,a2+a5=4,an=33,则n为( )A.48 B.49 C.50 D.51【解答】解:设{an}的公差为d,∵,a2+a5=4,∴d4d=4,即5d=4,解得d.∴an(n﹣1),令an=33,即33,解得n=50.故选:C.5.(5分)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解答】解:根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°,∴tan∠OMF2,即cb,∴ab,∴e.故选:B.6.(5分)设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【解答】解:当x0≤0时,,则x0<﹣1,当x0>0时,则x0>1,故x0的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),故选:D.7.(5分)已知f(x5)=lgx,则f(2)=( )A.lg2 B.lg32 C. D.【解答】解:令x5=2,∴得x,∵f(x5)=lgx,∴f(2)=lglg2.故选:D.8.(5分)函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=( )A.0 B. C. D.π【解答】解:当φ=0时,y=sin(x+φ)=sinx为奇函数不满足题意,排除A;当φ时,y=sin(x+φ)=sin(x)为非奇非偶函数,排除B;当φ时,y=sin(x+φ)=cosx,为偶函数,满足条件.当φ=π时,y=sin(x+φ)=﹣sinx,为奇函数,故选:C.9.(5分)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x﹣y+3=0的距离为1,则a=( )A. B. C. D.【解答】解:由点到直线的距离公式得:,∵a>0,∴a.故选:C.10.(5分)已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为,该圆柱的全面积为( )A.2πR2 B. C. D.【解答】解:设圆锥内接圆柱的高为h,则,解得,所以圆柱的全面积为:s=2.故选:B.11.(5分)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)若P4与P0重合,则tgθ=( )A. B. C. D.1【解答】解:由于若P4与P0重合,故P2、P3也都是所在边的中点,因为ABCD是长方形,根据对称性可知P0P1的斜率是,则tgθ.故选:C.12.(5分)棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )A.3π B.4π C.3 D.6π【解答】解:借助立体几何的两个熟知的结论:(1)一个正方体可以内接一个正四面体;(2)若正方体的顶点都在一个球面上,则正方体的体对角线就是球的直径.则球的半径R,∴球的表面积为3π,故选:A.二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)不等式的解集是 (2,4] .【解答】解:∵x0,∴x>0,∵不等式,两边平方得,4x﹣x2<x2,∴2x2﹣4x>0,解得,x>2,x<0(舍去),∵4x﹣x2≥0,∴0≤x≤4,∴综上得:不等式的解集为:(2,4],故答案为(2,4].14.(4分)在的展开式中,x3的系数是 (用数字作答)【解答】解:根据题意,对于,有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•()r=()r•C99﹣r•x9﹣2r,令9﹣2r=3,可得r=3,当r=3时,有T4x3,故答案.15.(4分)在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 .”【解答】解:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2.故答案为:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2.16.(4分)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 72 种.(以数字作答)【解答】解:由题意,选用3种颜色时:涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法:C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种.故答案为:72三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线;(2)求点D1到面BDE的距离.【解答】解:(1)取BD中点M.连接MC,FM.∵F为BD1中点,∴FM∥D1D且FMD1D.又ECCC1且EC⊥MC,∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1.又FM⊥面DBD1.∴EF⊥面DBD1.∵BD1⊂面DBD1.∴EF⊥BD1.故EF为BD1与CC1的公垂线.(Ⅱ)解:连接ED1,有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE.由(Ⅰ)知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d.则.∵AA1=2,AB=1.∴,,∴.∴故点D1到平面DBE的距离为.18.(12分)已知复数z的辐角为60°,且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项.求|z|.【解答】解:设z=(rcos60°+rsin60°i),则复数z的实部为.由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|,即:(z﹣1)(1)=|z|∴r2﹣r+1=r,整理得r2+2r﹣1=0.解得r1,r1(舍去).即|z|1.19.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2).(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)证明.【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,∴a2=3+1=4,∴a3=32+4=13;(Ⅱ)证明:由已知an﹣an﹣1=3n﹣1,n≥2故an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1.n≥2当n=1时,也满足上式.所以.20.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)在给出的直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间上的图象.【解答】解:(1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x所以函数的最小正周期为π,最大值为;(2)由(1)列表得:xy11111故函数y=f(x)在区间上的图象是:21.(12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?【解答】解:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向.在时刻:t(h)台风中心P(x,y)的坐标为令(x′,y′)是台风边缘线上一点,则

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