2008年江西高考理科数学真题及答案

准考证号姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2008年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)S＝4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)＝P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V＝πR3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)＝CP(1一P)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为A．0B．2C．3D．63．若函数的值域是，则函数的值域是A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]4．＝A．B．0C．－D．不存在5．在数列中，，则＝A．B．C．D．6．函数在区间(，)内的图象大致是ABCD7．已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A．(0，1)B．(0，]C．(0，)D．[，1)8．(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为A．1B．46C．4245D．42469．若，且，则下列代数式中值最大的是A．B．C．D．10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N③MN的最大值为5④MN的最小值为l其中真命题的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A．B．C．D．12．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)绝密★启用前第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点，若为线段的三等分点，则·＝．14．不等式≤的解集为．15．过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝．16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好过点(图2)．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是．(写出所有真命题的代号)．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，a＝2，tan＋tan＝4，sinBsinC＝cos2．求A、B及b、c．18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列．（1）求与；（2）证明：＋＋……＋＜．20．（本小题满分12分）正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2．分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．21．（本小题满分12分）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0)．（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程；（2）求证：三点共线．22．（本小题满分14分）已知函数＝＋＋，x∈(0，＋∞)．（1）当时，求的单调区间；（2）对任意正数，证明：．参考答案选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。题号123456789101112答案DDBAADCDACCB1．.因所以对应的点在第四象限，2．.因，3．.令，则，4．.5..，，…，6．D.函数7．.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则又,所以8．.常数项为9.A.10．.解：①③④正确，②错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则⊥，中，有，矛盾。当、、共线时分别取最大值5最小值1。11..一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.12．.解：当时，显然不成立当时，因当即时结论显然成立；当时只要即可即则填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13.14.15.16.B、D13.由已知得,则14．15.16．解：真命题的代号是：BD。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。解答题：本大题共6小题，共74分。17.解：由得∴∴∴，又∴由得即∴由正弦定理得18.解：（1）的所有取值为的所有取值为,、的分布列分别为：0.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.150.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，,可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令表示方案所带来的效益，则101520P0.350.350.3101520P0.50.180.32所以可见，方案一所带来的平均效益更大。19．解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①由知为正有理数，故为的因子之一，解①得故（2）∴20．解：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，则∥平面，所以∥。又是的中点，所以⊥，则⊥。因为⊥，⊥，所以⊥面，则⊥，因此⊥面。（2）作⊥于，连。因为⊥平面，根据三垂线定理知，⊥，就是二面角的平面角。作⊥于，则∥，则是的中点，则。设，由得，，解得，在中，，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则所以所以所以平面由∥得∥，故：平面(2)由已知设则由与共线得:存在有得同理:设是平面的一个法向量,则令得又是平面的一个法量所以二面角的大小为（3）由（2）知，，，平面的一个法向量为。则。则点到平面的距离为21．证明：（1）设，由已知得到，且，，设切线的方程为：由得从而,解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，所以，即点都在直线上又也在直线上,所以三点共线（2）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以解得由可得即为重心所在曲线方程22．解：、当时，，求得，于是当时，；而当时，．即在中单调递增，而在中单调递减．（2）.对任意给定的，，由，若令，则…①，而…②（一）、先证；因为，，，又由，得．所以．（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则（ⅰ）、当，则，所以，因为，，此时．（ⅱ）、当…③，由①得,，，因为所以…④同理得…⑤，于是…⑥今证明…⑦,因为，只要证，即，也即，据③，此为显然．因此⑦得证．故由⑥得．综上所述，对任何正数，皆有．