2007年江西高考理科数学真题及答案

2007年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）S＝4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）＝P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V＝πR3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)＝CP(1一P)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简的结果是A．2＋i B．－2＋i C．2－i D．－2－i2．A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在3．若，则cotα等于A．－2 B． C． D．24．已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A．4B．5C．6D．75．若0＜x＜，则下列命题中正确的是A．sinx＜B．sinx＞C．sinx＜D．sinx＞6．若集合且}，则N中元素的个数为A．9 B．6 C．4 D．27．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h19．设椭圆的离心率为e＝,右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1,x2)A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为A． B． C． D．11．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为A．－ B．0 C． D．512．设在(0，＋∞)内单调递增，，则p是q的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13.设函数y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为．14.已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=，则a36＝．15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值为．16.设有一组圆．下列四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆均相切B．存在一条定直线与所有的圆均相交C．存在一条定直线与所有的圆均不相交D．所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数在区间(0，1)内连续,且．（1）求实数k和c的值；（2）解不等式18．（本小题满分12分）如图,函数的图象与y轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜率为一2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的体积．21．（本小题满分12分）设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2sin2θ＝λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点O为坐标原点．22．（本小题满分14分）设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何n∈N*，有．（1）求a1，a3；（2）求数列{an}的通项an． 参考答案一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．D6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（1）因为，所以，由，即，．又因为在处连续，所以，即．（2）由（1）得：由得，当时，解得．当时，解得，所以的解集为．18．解：（1）将，代入函数得，因为，所以．又因为，，，所以，因此．（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．又因为点在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，故．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则，所以，，，．于是，．20．解法一：（1）证明：作交于，连．则．因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有．平面且平面，则面．（2）如图，过作截面面，分别交，于，．作于，连．因为面，所以，则平面．又因为，，．所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．因为，所以，故，即：所求二面角的大小为．（3）因为，所以所求几何体体积为．解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，．易知，是平面的一个法向量．因为，平面，所以平面．（2），，设是平面的一个法向量，则则得：取，．显然，为平面的一个法向量．则,结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角的大小是．（3）同解法一．21．解法一：（1）在中，，即，，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．方程为：．（2）设，①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．即，因为，所以．②当不垂直于轴时，设的方程为．由得：，由题意知：，所以，．于是：．因为，且在双曲线右支上，所以．由①②知，．解法二：（1）同解法一（2）设，，的中点为．①当时，，因为，所以；②当时，．又．所以；由得，由第二定义得．所以．于是由得因为，所以，又，解得：．由①②知．22．解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）方法一：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．（2）方法二：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得即 ②由②左式，得，即，因为两端为整数，则．于是 ③又由②右式，．则．因为两端为正整数，则，所以．又因时，为正整数，则 ④据③④，即时，成立．由1，2知，对任意，．