2019年中考数学真题分类训练——专题二十:几何探究型问题

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2019年中考数学真题分类训练——专题二十:几何探究型问题1.(2019重庆A卷)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,连结AE,EM⊥AE,垂足为E,交CD于点M,AF⊥BC,垂足为F,BH⊥AE,垂足为H,交AF于点N,点P是AD上一点,连接CP.(1)若DP=2AP=4,CP,CD=5,求△ACD的面积.(2)若AE=BN,AN=CE,求证:ADCM+2CE.解:(1)作CG⊥AD于G,如图1所示:设PG=x,则DG=4-x,在Rt△PGC中,GC2=CP2-PG2=17-x2,在Rt△DGC中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2,∴17-x2=9+8x-x2,解得:x=1,即PG=1,∴GC=4,∵DP=2AP=4,∴AD=6,∴S△ACDAD×CG6×4=12.(2)证明:连接NE,如图2所示:∵AH⊥AE,AF⊥BC,AE⊥EM,∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°,∴∠NBF=∠EAF=∠MEC,在△NBF和△EAF中,,∴△NBF≌△EAF,∴BF=AF,NF=EF,∴∠ABC=45°,∠ENF=45°,FC=AF=BF,∴∠ANE=∠BCD=135°,AD=BC=2AF,在△ANE和△ECM中,,∴△ANE≌△ECM,∴CM=NE,又∵NFNEMC,∴AFMC+EC,∴ADMC+2EC.2.(2019广州)如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB;(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当B,F,E三点共线时.求AE的长.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,由折叠可知:DF=DC,且点F在AC上,∴∠DFC=∠C=60°,∴∠DFC=∠A,∴DF∥AB.(2)存在,如图,过点D作DM⊥AB交AB于点M,∵AB=BC=6,BD=4,∴CD=2∴DF=2,∴点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,∴当点F在DM上时,S△ABF最小,∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°,∴MD=2,∴S△ABF的最小值6×(22)=66,∴S最大值2×3(66)=-36.(3)如图,过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,∵GD⊥EF,∠EFD=60°,∴FG=1,DGFG,∵BD2=BG2+DG2,∴16=3+(BF+1)2,∴BF1,∴BG,∵EH⊥BC,∠C=60°,∴CH,EHHCEC,∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°,∴△BGD∽△BHE,∴,∴,∴EC1,∴AE=AC-EC=7.3.(2019安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2·h3.证明:(1)∵∠ACB=90°,AB=BC,∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,∴∠PBC=∠PAB,又∵∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.(2)∵△PAB∽△PBC,∴,在Rt△ABC中,AB=AC,∴,∴,∴PA=2PC.(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,∴∠APC=90°,∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,∴∠EAP=∠PCD,∴Rt△AEP∽Rt△CDP,∴,即,∴h3=2h2,∵△PAB∽△PBC,∴,∴,∴.即:h12=h2·h3.4.(2019深圳)已知在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(-3,0),C(-3,8),以线段BC为直径作圆,圆心为E,直线AC交⊙E于点D,连接OD.(1)求证:直线OD是⊙E的切线;(2)点F为x轴上任意一动点,连接CF交⊙E于点G,连接BG.①当tan∠ACF时,求所有F点的坐标__________(直接写出);②求的最大值.解:(1)证明:如图1,连接DE,∵BC为圆的直径,∴∠BDC=90°,∴∠BDA=90°,∵OA=OB,∴OD=OB=OA,∴∠OBD=∠ODB,∵EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB,即∠EBO=∠EDO,∵CB⊥x轴,∴∠EBO=90°,∴∠EDO=90°,∵点D在⊙E上,∴直线OD为⊙E的切线.(2)①如图2,当F位于AB上时,过F作F1N⊥AC于N,∵F1N⊥AC,∴∠ANF1=∠ABC=90°,∴△ANF∽△ABC,∴,∵AB=6,BC=8,∴AC10,即AB∶BC∶AC=6∶8∶10=3∶4∶5,∴设AN=3k,则NF1=4k,AF1=5k,∴CN=CA-AN=10-3k,∴tan∠ACF,解得:k,∴,,即F1(,0).如图3,当F位于BA的延长线上时,过F2作F2M⊥CA于M,∵△AMF2∽△ABC,∴设AM=3k,则MF2=4k,AF2=5k,∴CM=CA+AM=10+3k,∴tan∠ACF,解得:,∴AF2=5k=2,OF2=3+2=5,即F2(5,0),故答案为:F1(,0),F2(5,0).②方法1:如图4,∵CB为直径,∴∠CGB=∠CBF=90°,∴△CBG∽△CFB,∴,∴BC2=CG·CF,CF,∵CG2+BG2=BC2,∴BG2=BC2-CG2,∴,∴,令y=CG2(64-CG2)=-CG4+64CG2=-[(CG2-32)2-322]=-(CG2-32)2+322,∴当CG2=32时,,此时CG=4,.方法2:设∠BCG=α,则sinα,cosα,∴sinαcosα,∵(sinα-cosα)2≥0,即:sin2α+cos2α≥2sinαcosα,∵sin2α+cos2α=1,∴sinαcosα,即,∴的最大值.5.(2019宁夏)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC;(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.解:(1)∵MQ⊥BC,∴∠MQB=90°,∴∠MQB=∠CAB,又∠QBM=∠ABC,∴△QBM∽△ABC.(2)当BQ=MN时,四边形BMNQ为平行四边形,∵MN∥BQ,BQ=MN,∴四边形BMNQ为平行四边形.(3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC5,∵△QBM∽△ABC,∴,即,解得,QMx,BMx,∵MN∥BC,∴,即,解得,MN=5x,则四边形BMNQ的面积(5x+x)x(x)2,∴当x时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为.6.(2019江西)在图1,2,3中,已知ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.(1)如图1,当点E与点B重合时,∠CEF=__________°;(2)如图2,连接AF.①填空:∠FAD__________∠EAB(填“>”“<”“=”);②求证:点F在∠ABC的平分线上.(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求的值.解:(1)∵四边形AEFG是菱形,∴∠AEF=180°-∠EAG=60°,∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°,故答案为:60°.(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=180°-∠ABC=60°,∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,∴∠FAE=60°,∴∠FAD=∠EAB,故答案为:=.②证明:如图,作FM⊥BC于M,FN⊥BA交BA的延长线于N,则∠FNB=∠FMB=90°,∴∠NFM=60°,又∠AFE=60°,∴∠AFN=∠EFM,∵EF=EA,∠FAE=60°,∴△AEF为等边三角形,∴FA=FE,在△AFN和△EFM中,,∴△AFN≌△EFM(AAS)∴FN=FM,又FM⊥BC,FN⊥BA,∴点F在∠ABC的平分线上.(3)如图,∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,∴∠AGF=60°,∴∠FGE=∠AGE=30°,∵四边形AEGH为平行四边形,∴GE∥AH,∴∠GAH=∠AGE=30°,∠H=∠FGE=30°,∴∠GAN=90°,又∠AGE=30°,∴GN=2AN,∵∠DAB=60°,∠H=30°,∴∠ADH=30°,∴AD=AH=GE,∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD,∴BC=GE,∵四边形ABEH为平行四边形,∠HAE=∠EAB=30°,∴平行四边形ABEN为菱形,∴AB=AN=NE,∴GE=3AB,∴3.7.(2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠ECQ=90°,∵E是CD的中点,∴DE=CE,又∵∠DEP=∠CEQ,∴△PDE≌△QCE.(2)①证明:∵PB=PQ,∴∠PBQ=∠Q,∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,∵△PDE≌△QCE,∴PE=QE,∵EF∥BQ,∴PF=BF,∴在Rt△PAB中,AF=PF=BF,∴∠APF=∠PAF,∴∠PAF=∠EPD,∴PE∥AF,∵EF∥BQ∥AD,∴四边形AFEP是平行四边形;②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,由(1)可得△PDE≌△QCE,∴CQ=PD=x,∴BQ=BC+CQ=1+x,∵点E、F分别是PQ、PB的中点,∴EF是△PBQ的中位线,∴EFBQ,由①知AP=EF,即1-x,解得x,∴PD,AP,在Rt△PDE中,DE,∴PE,∴AP≠PE,∴四边形AFEP不是菱形.8.(2019陕西)问题提出:(1)如图1,已知△ABC,试确定一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;问题探究:(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使∠BPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离;问题解决:(3)如图3,有一座塔A,按规定,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况,要求顶点B是定点,点B到塔A的距离为50米,∠CBE=120°,那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以,求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)解:(1)如图记为点D所在的位置.(2)如图,∵AB=4,BC=10,∴取BC的中点O,则OB>AB.∴以点O为圆心,OB长为半径作⊙O,⊙O一定于AD相交于P1,P2两点,连接BP1,P1C,P1O,∵∠BPC=90°,点P不能再矩形外,∴△BPC的顶点P1或P2位置时,△BPC的面积最大,作P1E⊥BC,垂足为E,则OE=3,∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2,由对称性得AP2=8.(3)可以,如图所示,连接BD,∵A为BCDE的对称中心,BA=50,∠CBE=120°,∴

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