2019年中考数学真题分类训练——专题十四：图形的相似(解析版）

2019年中考数学真题分类训练——专题十四：图形的相似一、选择题1．（2019邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 C．AO∶AA′=1∶2 D．AB∥A′B′【答案】C2．（2019温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为A． B． C． D．【答案】C3．（2019淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为A．2a B．aC．3a D．a【答案】C4．（2019杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A． B． C． D．【答案】C5．（2019玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有A．3对 B．5对 C．6对 D．8对【答案】C6．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D7．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B8．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C9．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C10．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处 B．②处 C．③处 D．④处【答案】B11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B12．（2019兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则=A．2 B． C．3 D．【答案】B13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B二、填空题14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为__________m．【答案】5415．（2019台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点 D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且，则m+n的最大值为__________．【答案】16．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【答案】17.(2019)烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）19．（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】20．（2019河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则=__________．【答案】21．(2019淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．【答案】4三、解答题22．（2019福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．解：（1）作线段A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，得△A'B'C'即可所求．∵A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．23．（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF．（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值．解：（1）如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∵AB=CB，∴FH=MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，由题意：2a≤MNa，a≤EFa，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值为，当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．（3）连接FN，ME．∵k=3，MP=EF=3PE，∴3，∴2，∴△PNF∽△PME，∴2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合．过点F作FH⊥BD于点H．∵∠MPE=∠FPH=60°，∴PH=2m，FH=2m，DH=10m，∴．②如图3中，当点N与点C重合，过点E作EH⊥MN于点H．则PH=m，HEm，∴HC=PH+PC=13m，∴tan∠HCE，∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，∴2，∴，综上所述，a：b的值为或．24．（2019凉山）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．解：（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=，∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，∴，且MC=，∴MN=．25．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，解得PN．（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，∴四边形PQMN为矩形，∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，∴NM'∥NM，∴△BN'M'∽△BNM，∴，同理可得，∴.∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，∴四边形PQMN为正方形．（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，∴ER=RM=EM，又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，∴∠EQM=∠EMN.又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，∴△EQM≌△RMN（AAS），∴EQ=RM，∴EQ=EM，∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，∴∠BEQ=∠EMB，又∵∠EBM=∠QBE，∴△BEQ∽△BME，∴．设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，∴BN=BE+NE=5x，∴BN=NM=．26．（2019巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．②如图，△A2B2C为所作．③OB=，点B经过的路径长=．27．（2019衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠D