2019年中考数学真题分类训练——专题十九:二次函数综合题1.(2019广东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.(1)求点A、B、D的坐标;(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;(3)如图2,过顶点D作DD1⊥x轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,使得△PAM与△DD1A相似(不含全等).①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;②直接回答这样的点P共有几个?解:(1)令=0,解得x1=1,x2=–7.∴A(1,0),B(–7,0).由y==得,D(–3,–2);(2)∵DD1⊥x轴于点D1,∴∠COF=∠DD1F=90°,∵∠D1FD=∠CFO,∴△DD1F∽△COF,∴,∵D(–3,–2),∴D1D=2,OD=3,∵AC=CF,CO⊥AF,∴OF=OA=1,∴D1F=D1O–OF=3–1=2,∴,∴OC=,∴CA=CF=FA=2,∴△ACF是等边三角形,∴∠AFC=∠ACF,∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,∴∠ECF=∠AFC=60°,∴EC∥BF,∵EC=DC==6,∵BF=6,∴EC=BF,∴四边形BFCE是平行四边形;(3)∵点P是抛物线上一动点,∴设P点(x,),①当点P在B点的左侧时,∵△PAM与△DD1A相似,∴或,∴或,解得:x1=1(不合题意舍去),x2=–11或x1=1(不合题意舍去)x2=–;当点P在A点的右侧时,∵△PAM与△DD1A相似,∴或,∴或,解得:x1=1(不合题意舍去),x2=–3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=–(不合题意舍去);当点P在AB之间时,∵△PAM与△DD1A相似,∴=或=,∴或,解得:x1=1(不合题意舍去),x2=–3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=–;综上所述,点P的横坐标为–11或–或–;②由①得,这样的点P共有3个.2.(2019深圳)如图,抛物线经y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D、E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,求点P的坐标.解:(1)∵OB=OC,∴点B(3,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,解得:a=-1,故抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3,对称轴为x=1.(2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC、DE=1是常数,故CD+AE最小时,周长最小,取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=C′D,取点A′(-1,1),则A′D=AE,故:CD+AE=A′D+DC′,则当A′、D、C′三点共线时,CD+AE=A′D+DC′最小,周长也最小,四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AEA′D+DC′A′C′.(3)如图,设直线CP交x轴于点E,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,又∵S△PCB∶S△PCAEB×(yC-yP)∶AE×(yC-yP)=BE∶AE,则BE∶AE=3∶5或5∶3,则AE或,即:点E的坐标为(,0)或(,0),将点E、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+3,解得:k=-6或-2,故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3,联立并解得:x=4或8(不合题意值已舍去),故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).3.(2019雅安)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(2,-1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平行于x轴。PM⊥l于点M,点F(0,-1).(1)求二次函数的解析式;(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QN⊥l于点N,线段MF的中垂线交l于点R,求的值;(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.解:(1)∵y=ax2(a≠0)的图象过点(2,-1),∴-1=a×22,即a=,∴;(2)设的图象上的点P(x1,y1),则M(x1,1),,即x12=-4y1,PM=|1-y1|,又PF=====|y1-1|=PM,即PF=PM,∴点P在线段MF的中垂线上;(3)连接RF,∵R在线段MF的中垂线上,∴MR=FR,又∵PM=PF,PR=PR,∴△PMR≌△PFR,∴∠PFR=∠PMR=90°,∴RF⊥PF,连接RQ,又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中,∵Q在的图象上,由(2)结论知∴QF=QN,∵RQ=RQ,∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ,即RN=FR,即MR=FR=RN,∴;(4)在△PQR中,由(3)知PR平分∠MRF,QR平分∠FRN,∴∠PRQ=(∠MRF+∠FRN)=90°,∴点R在以线段PQ为直径的圆上.4.(2019南宁)如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上,抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C1:y1=x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,–1).(1)直接写出A,B的坐标和抛物线C2的解析式;(2)抛物线C2上是否存在点E,使得△ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)如图2,点F(–6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N的横坐标相同,记△AFM面积为S1(当点M与点A,F重合时S1=0),△ABN的面积为S2(当点N与点A,B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1≤y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值.解:(1)C1顶点在C2上,C2顶点也在C1上,由抛物线C1:y1=x2+x可得A(–2,–1),将A(–2,–1),D(6,–1)代入y2=ax2+x+c得,解得,∴y2=–x2+x+2,∴B(2,3);(2)易得直线AB的解析式:y=x+1,①若B为直角的顶点,BE⊥AB,kBE•kAB=–1,∴kBE=–1,则直线BE的解析式为y=–x+5.联立,解得或,此时E(6,–1);②若A为直角顶点,AE⊥AB,kAE•kAB=–1,∴kAE=–1,则直线AE的解析式为y=–x–3,联立,解得或,此时E(10,–13);③若E为直角顶点,设E(m,–m2+m+2)由AE⊥BE得kBE•kAE=–1,即,解得m=2或–2(不符合题意均舍去),∴存在,∴E(6,–1)或E(10,–13);(3)∵y1≤y2,观察图形可得:x的取值范围为–2≤x≤2,设M(t,t2+t),N(t,−t2+t+2),且–2≤t≤2,易求直线AF的解析式:y=–x–3,过M作x轴的平行线MQ交AF于Q,由yQ=yM,得Q(t2−t−3,t2+t),S1=|QM|•|yF–yA|=t2+4t+6,设AB交MN于点P,易知P坐标为(t,t+1),S2=|PN|•|xA–xB|=2–t2,S=S1+S2=4t+8,当t=2时,S的最大值为16.5.(2019广州)已知抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点.(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.解:(1)∵y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-m-3,抛物线有最低点,∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.(2)∵抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,∴平移后的抛物线G1:y=m(x-1-m)2-m-3,∴抛物线G1顶点坐标为(m+1,-m-3),∴x=m+1,y=-m-3,∴x+y=m+1-m-3=-2,即x+y=-2,变形得y=-x-2,∵m>0,m=x-1,∴x-1>0,∴x>1,∴y与x的函数关系式为y=-x-2(x>1).(3)法一:如图,函数H:y=-x-2(x>1)图象为射线,x=1时,y=-1-2=-3;x=2时,y=-2-2=-4,∴函数H的图象恒过点B(2,-4),∵抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,x=1时,y=-m-3;x=2时,y=m-m-3=-3,∴抛物线G恒过点A(2,-3),由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则yB
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