2019年中考数学真题分类训练——专题八：二次函数一、选择题1．（2019山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2 D．y=-x2【答案】B2．（2019舟山）小飞研究二次函数y=–（x–m）2–m+1（m为常数）性质时，有如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x12m，则y1|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是A． B． C． D．【答案】D9．（2019遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是A．B．当时，顶点的坐标为C．当时，D．当时，y随x的增大而增大【答案】C10．（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位【答案】B11．（2019济宁）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是A． B．C． D．【答案】D12．（2019福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是A．y1y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2【答案】A14．（2019河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为A．-2 B．-4 C．2 D．4【答案】B二、填空题15．（2019广安）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米．【答案】1016．（2019济宁）如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是__________．【答案】或17．（2019凉山州）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_________．【答案】18．（2019安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是__________．【答案】a>1或a<-119．（2019哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是__________．【答案】8三、解答题20．（2019凉山州）已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．解：的图象与x轴交于两点，∴，∵，∴或．21．（2019湖州）已知抛物线与轴有两个不同的交点．（1）求的取值范围；（2）若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由．解：（1），由题意，得，∴，∴的取值范围是．（2），理由如下：∵抛物线的对称轴为直线，又∵，∴当时，随的增大而增大，∵，∴．22．（2019威海）在画二次函数的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数的表达式；（2）对于二次函数，当__________时，的值随的值增大而增大；（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．解：（1）由甲同学的错误可知c=3，由甲同学提供的数据，当x=-1时，y=6；当x=1时，y=2，有，∴，∴a=1，由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，当x=-1时，y=-2；当x=1时，y=2，有，∴，∴a=1，b=2，∴y=x2+2x+3．（2）y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∴抛物线开口向上，∴当x≥-1时，y的值随x的值增大而增大．故答案为：≥-1．（3）方程ax2+bx+c=k（a≠0）有两个不相等的实数根，即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4（3-k）>0，∴k>2．23．（2019宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．（1）请写出与之间的函数表达式；（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？解：（1）根据题意得，．（2）根据题意得，，解得：，，∵每件利润不能超过60元，∴，答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．（3）根据题意得，，∵，∴当时，随的增大而增大，∴当时，，答：当为20时最大，最大值是2400元．24．（2019潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元，今年的批发销售总额为万元，∴，整理得，解得或（不合题意，舍去），故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有，整理得，∵，∴抛物线开口向下，∴当元时，取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．25．（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元，根据题意可得，解得：．答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元，①当30≤b≤50时，，w=b（-0.1b+13）+6（100-b），∵当时，W=720，当b=50时，W=700，∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5．②当50＜b≤60时，a=8，，∵，∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．26．（2019梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．解：（1）由题意，y=（x-5）（100-×5）=-10x2+210x-800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．27．（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得，解得，∴y=-200x+1200，当10