2019年中考数学真题分类训练——专题二十二:新定义与阅读理解题(含答案)

2023-10-31 · U1 上传 · 16页 · 677.5 K

2019年中考数学真题分类训练——专题二十二:定义阅读理解题1.(2019天水)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD.试证明:AB2+CD2=AD2+BC2;(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.解:(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下:∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上,∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;(2)如图1,∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得,AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2,∴AD2+BC2=AB2+CD2;(3)连接CG、BE,∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,QUOTE,∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=4QUOTE,BE=5QUOTE,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=QUOTE.2.(2019白银)阅读下面的例题及点拨,并解决问题:例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°.点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°.问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.解:延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1、EC1,如图所示:则EB1=B1C1,∠EB1M1=90°=∠A1B1M1,∴△EB1C1是等腰直角三角形,∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°,∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,∴∠M1C1N1=90°+45°=135°,∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°,∴E、C1、N1三点共线,在△A1B1M1和△EB1M1中,,∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS),∴A1M1=EM1,∠1=∠2,∵A1M1=M1N1,∴EM1=M1N1,∴∠3=∠4,∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°,∴∠1=∠2=∠5,∵∠1+∠6=90°,∴∠5+∠6=90°,∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°.3.(2019江西)特例感知(1)如图1,对于抛物线,,,下列结论正确的序号是_________;①抛物线,,都经过点;②抛物线,的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到;③抛物线,,与直线的交点中,相邻两点之间的距离相等.形成概念(2)把满足(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中,如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为,,,…,,用含n的代数式表示顶点的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式;②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:,,,…,,其横坐标分别为:,,,…,(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.③在②中,直线分别交“系列平移抛物线”于点,,,…,,连接,,判断,是否平行?并说明理由.解:(1)①当x=0,,所以正确;②的对称轴分别是直线,,,所以正确;③与交点(除了点C)横坐标分别为–1,–2,–3,所以距离为1,都相等,正确.(2)①,所以顶点,令顶点横坐标,纵坐标,,即:顶点满足关系式.②相邻两点之间的距离相等.理由:根据题意得;,,∴CnCn–1两点之间的铅直高度=.CnCn–1两点之间的水平距离=.∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1,∴CnCn–1=.③与不平行.理由:根据题意得:,,,.过Cn,Cn–1分别作直线y=1的垂线,垂足为D,E,所以D(–k–n,1),E(–k–n+1,1).在Rt△DAnCn中,tan∠DAnCn=,在Rt△EAn–1Cn–1中,tan∠EAn–1Cn–1=,∵≠,∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1,∴与不平行.4.(2019自贡)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+…+22017+22018①,则2S=2+22+…+22018+22019②,②–①得2S–S=S=22019–1,∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+…+29=__________;(2)3+32+…+310=__________;(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数),请写出计算过程.解:(1)设S=1+2+22+…+29①,则2S=2+22+…+210②,②–①得2S–S=S=210–1,∴S=1+2+22+…+29=210–1;故答案为:210–1;(2)设S=3+3+32+33+34+…+310①,则3S=32+33+34+35+…+311②,②–①得2S=311–1,所以S=,即3+32+33+34+…+310=;故答案为:;(3)设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①,则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②,②–①得:(a–1)S=an+1–1,a=1时,不能直接除以a–1,此时原式等于n+1;a≠1时,a–1才能做分母,所以S=,即1+a+a2+a3+a4+…+an=.5.(2019随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为,易知=10m+n;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如=100a+10b+c.【基础训练】(1)解方程填空:①若+=45,则x=__________;②若–=26,则y=__________;③若+=,则t=__________;【能力提升】(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字,可得到一个新数,则+一定能被__________整除,–一定能被__________整除,•–mn一定能被__________整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空)【探索发现】(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532–235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________;②设任选的三位数为(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.解:(1)①∵=10m+n,∴若+=45,则10×2+x+10x+3=45,∴x=2,故答案为:2.②若–=26,则10×7+y–(10y+8)=26,解得y=4,故答案为:4.③由=100a+10b+c,及四位数的类似公式得若+=,则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1,∴100t=700,∴t=7,故答案为:7.(2)∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n),∴则+一定能被11整除,∵–=10m+n–(10n+m)=9m–9n=9(m–n),∴–一定能被9整除.∵•–mn=(10m+n)(10n+m)–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10(10mn+m2+n2)∴•–mn一定能被10整除.故答案为:11;9;10.(3)①若选的数为325,则用532–235=297,以下按照上述规则继续计算,972–279=693,963–369=594,954–459=495,954–459=495,…故答案为:495.②当任选的三位数为时,第一次运算后得:100a+10b+c–(100c+10b+a)=99(a–c),结果为99的倍数,由于a>b>c,故a≥b+1≥c+2,∴a–c≥2,又9≥a>c≥0,∴a–c≤9,∴a–c=2,3,4,5,6,7,8,9,∴第一次运算后可能得到:198,297,396,495,594,693,792,891,再让这些数字经过运算,分别可以得到:981–189=792,972–279=693,963–369=594,954–459–495,954–459=495…,故都可以得到该黑洞数495.6.(2019衢州)定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x,y那么称点T是点A,B的融合点.例如:A(﹣1,8),B(4,﹣2),当点T(x,y)满足x1,y2时,则点T(1,2)是点A,B的融合点.(1)已知点A(﹣1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.(2)如图,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点.①试确定y与x的关系式.②若直线ET交x轴于点H.当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标.解:(1)∵=2,=4,∴点C(2,4)是点A、B的融合点;(2)①由融合点定义知x(t+3),y(2t+3),则t=3x﹣3,则y(6x﹣6+3)=2x﹣1;②要使△DTH为直角三角形,可分三种情况讨论:(i)当∠DHT=90°时,如图1所示,设T(m,2m﹣1),则点E(m,2m+3),由点T是点D,E的融合点得:m,解得:m,即点E(,6);(ii)当∠TDH=90°时,如图2所示,则点T(3,5),由点T是点D,E的融合点得:点E(6,15);(iii)当∠HTD=90°时,该情况不存在;综上所述,符合题意的点为(,6)或(6,15).7.(2019济宁)阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1

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