高考数学第9讲 综合题(解析版)

2023-11-14 · U1 上传 · 9页 · 809.5 K

第9讲综合题一.选择题(共8小题)1.(2018•西城区校级模拟)在等腰梯形中,,且,,,其中,以,为焦点且过点的双曲线的离心率为,以,为焦点且过点的椭圆的离心率为,若对任意都有不等式恒成立,则的最大值为 A. B. C. D.【解答】解:在等腰梯形中,,由双曲线的定义可得,,,由椭圆的定义可得,,,则,令,则在上单调递减,所以,则,则,故的最大值为故选:.2.如图,等腰梯形中,,且,,,以,为焦点,且过点的双曲线的离心率为.以,为焦点,且过点的椭圆的离心率为,动点在边上,且,对恒成立,则的最大值为 A. B.2 C. D.不存在【解答】解:在等腰梯形中,,由双曲线的定义可得,,;由椭圆的定义可得,,,则,令,则在上递减,则,则有的取值范围为,.由于,对恒成立,则有.即有的最大值为.故选:.3.(2020•河南模拟)已知双曲线的左右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左支相交于点,与双曲线的右支相交于点,为坐标原点.若,且,则双曲线的离心率为 A. B. C.2 D.【解答】解:设,则,,,同理,,,,,在,中,,即,得,有,,在△,中,由,即,得,即离心率,故选:.4.(2020•广东一模)已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于,两点,且,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.【解答】解:如图,设双曲线的一条渐近线方程为,联立,解得,,,且轴,,,则,则,得,即.故选:.5.(2020•九江二模)已知双曲线的左右焦点分别为,,以原点为圆心,为半径的圆.与双曲线的右支相交于,两点,若四边形为菱形,则双曲线的离心率为 A. B. C. D.【解答】解:双曲线的左右焦点分别为,,以原点为圆心,为半径的圆,与双曲线的右支相交于,两点,若四边形为菱形,可得:,,代入双曲线方程可得:,可得:,,解得.故选:.6.(2021•陕西模拟)已知是双曲线的右焦点,为坐标原点,与双曲线交于在第一象限),两点,,且,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.【解答】解:设双曲线的左焦点为.则为平行四边形,.因为,所以,所以.因为.所以.所以,得,故离心率.故选:.7.(2019•桂林一模)设抛物线的焦点为,其准线与双曲线的两个交点分别是,,若存在抛物线使得是等边三角形,则双曲线的离心率的取值范围是 A., B. C., D.【解答】解:抛物线的焦点为,其准线,双曲线的两个交点分别是,,,,是等边三角形,可得,可得,所以双曲线的离心率:.双曲线的离心率的取值范围是:,.故选:.8.(2012•江西模拟)设抛物线的焦点是双曲线右焦点.若与的公共弦恰好过,则双曲线的离心率的值为 A. B. C. D.2【解答】解:由题意,交点为,,代入双曲线方程得,又,化简得,故选:.二.多选题(共2小题)9.(2020•潍坊一模)已知双曲线,则不因改变而变化的是 A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程【解答】解:双曲线,可化为.,.,,渐近线,故选:.10.(2020秋•山东月考)已知双曲线,过其右焦点的直线与双曲线交于两点,,则 A.若,同在双曲线的右支,则的斜率大于 B.若在双曲线的右支,则最短长度为2 C.的最短长度为 D.满足的直线有4条【解答】解:双曲线的,,,渐近线方程为,若,同在双曲线的右支,且直线垂直于轴,可得直线的斜率不存在,故错误;当垂直于轴时,可令,可得,即,当为实轴时,,,,故正确;当垂直于轴时,,当为实轴时,,而,则的最短长度为6,故错误;若,同在双曲线的右支,由于,可得过的直线有两条;若,分别在双曲线的一支上,由,可得过的直线有两条,则满足的直线有4条,故正确.故选:.三.填空题(共2小题)11.(2015秋•台州校级月考)在等腰梯形中,,且,,,其中,以、为焦点且过点的双曲线的离心率为,以、为焦点且过点的椭圆的离心率为,若对任意,不等式恒成立,则的最大值为 .【解答】解:对于双曲线,,,,故,故,对于椭圆,,,,故,故,令,,故,,由对勾函数的单调性及复合函数的单调性知,在上是减函数,故,故若对对任意,不等式恒成立,则,故答案为:.12.(2020•泉州二模)如图1,已知四面体的所有棱长都为,,分别为线段和的中点,直线垂直于水平地面,该四面体绕着直线旋转一圈得到的几何体如图2所示,若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线的一部分,则的方程为 .【解答】解:通过补形,将该四面体放入正方体中,使得四面体的棱恰好时正方体的面对角线,易得正方体的棱长为2,对棱,的中点间的距离等于正方体的棱长2,故双曲线的实轴长为2,该双曲线过点,,则,故双曲线的方程为.故答案为:.

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