专题04三角函数(新定义)一、单选题1.(2023秋·山东临沂·高一统考期末)我们学过度量角有角度制与弧度制,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫做面度制.在面度制下,角的面度数为,则角的正弦值为( )A. B. C. D.2.(2023秋·江苏苏州·高一统考期末)定义:正割,余割.已知为正实数,且对任意的实数均成立,则的最小值为( )A.1 B.4 C.8 D.93.(2022·全国·高一专题练习)密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.若,则角可取的值用密位制表示错误的是( )A.12-50 B.2-50 C.13-50 D.32-504.(2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)计算器是如何计算,,,,等函数值的呢?计算器使用的是数值计算法,其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数,通过计算多项式的值求出原函数的值,如,,其中,英国数学家泰勒发现了这些公式,可以看出,右边的项用得越多,计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想,可得到的近似值为( )A.0.50 B.0.52 C.0.54 D.0.565.(2022春·广东中山·高二统考期末)密位制是度量角与弧的常用制度之一,周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中,采用四个数字来记角的密位,且在百位数字与十位数字之间加一条短线,单位名称可以省去,如15密位记为“00—15”,1个平角=30—00,1个周角=60—00,已知函数,,当取到最大值时对应的x用密位制表示为( )A.15—00 B.35—00 C.40—00 D.45—006.(2022春·云南昆明·高二校考期末)在平面直角坐标系xOy中,P(x,y)(xy≠0)是角α终边上一点,P与原点O之间距离为r,比值叫做角α的正割,记作secα;比值叫做角α的余割,记作cscα;比值叫做角α的余切,记作cotα.四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下:甲:;乙:;丙:;丁:.如果只有一名同学的结果是错误的,则错误的同学是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.(2023秋·湖南邵阳·高一统考期末)设,定义运算,则函数的最小值为( )A. B. C. D.8.(2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末)正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的.定义正割,余割.已知为正实数,且对任意的实数均成立,则的最小值为( )A. B. C. D.9.(2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中)对集合和常数,把定义为集合相对于的“正弦方差,则集合相对于的“正弦方差”为( )A. B. C. D.与有关的值10.(2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习)现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形,由上述信息可求得( )A. B.C. D.11.(2021秋·四川巴中·高一校联考期末)定义运算,如果的图像的一条对称轴为满足等式,则取最小值时,函数的最小正周期为( )A. B. C. D.12.(2020·全国·高三校联考阶段练习)对于集合,定义:为集合相对于的“余弦方差”,则集合相对于的“余弦方差”为( )A. B. C. D.13.(2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习)已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是A. B.C. D.14.(2022春·陕西延安·高一校考阶段练习)对于函数,在使成立的所有常数中,我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数,的“下确界”为,则的取值范围是( )A. B. C. D.15.(2020·全国·高一假期作业)如果函数在区间上是凸函数,那么对于区间内的任意,,…,,都有,若在区间上是凸函数,那么在中,的最大值是( )A. B.3 C. D.二、多选题16.(2022·全国·高一专题练习)定义:为集合相对常数的“余弦方差”.若,则集合相对的“余弦方差”的取值可能为( )A. B. C. D.17.(2021秋·全国·高三校联考期中)数学中一般用表示a,b中的较小值,表示a,b中的较大值;关于函数:;,有如下四个命题,其中是真命题的是( )A.与的最小正周期均为B.与的图象均关于直线对称C.的最大值是的最小值D.与的图象关于原点中心对称18.(2022·江苏·高一专题练习)已知角和都是任意角,若满足,则称与“广义互余”若,则下列角中,可能与角“广义互余”的有( )A. B. C. D.19.(2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习)在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢,记作,定义为角的余矢,记作,则下列命题正确的是( )A.B.C.若,则D.函数的最大值为20.(2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末)在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢,记作,定义为角的余矢,记作,则下列命题中正确的是( )A.函数在上是减函数B.函数的最小正周期为C.D.三、填空题21.(2023·高一课时练习)我们规定把叫做对的余弦方差,那么对任意实数B,B对的余弦方差是______.22.(2022·全国·高一专题练习)已知都是定义在上的函数,若存在实数,使得,则称是,在上生成的函数.若,以下四个函数中:①; ②;③; ④.所有是在上生成的函数的序号为________.23.(2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习)形如的式子叫做行列式,其运算法则为,则行列式的值是___________.24.(2023·高一课时练习)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出下列四个函数:①;②;③;④.其中“同形”函数有__________.(选填序号)25.(2023·高一课时练习)在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点,则称函数为阶格点函数.在上,下列函数中,为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①;②;③;④26.(2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试)在平面直角坐标系中,已知任意角以坐标原点为顶点,轴的非负半轴为始边,若终边经过点,且,定义:,称“”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质:①该函数的值域为; ②该函数的图象关于原点对称;③该函数的图象关于直线对称; ④该函数为周期函数,且最小正周期为;⑤该函数的递增区间为.其中正确的是__________.(填上所有正确性质的序号)27.(2015秋·广东揭阳·高一统考期中)定义一种运算,令,且,则函数的最大值是_______________四、解答题28.(2023春·云南文山·高一校考阶段练习)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点,,则曼哈顿距离为:,余弦相似度为:,余弦距离为(1)若,,求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离;(2)已知,,,若,,求的值29.(2023·高一课时练习)知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.与之类似,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对.如图,在中,.顶角的正对记作,这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义,解下列问题:(1)的值为( )A. B. C. D.(2)对于,的正对值的取值范围是______.(3)已知,其中为锐角,试求的值.30.(2020秋·全国·高三校联考阶段练习)若函数,平面内一点坐标,我们称为函数的“相伴特征点”,为的“相伴函数”.(1)已知,求函数的“相伴特征点”;(2)记的“相伴函数”为,将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数,作出在上的图象.31.(2022秋·内蒙古包头·高一统考期末)对任意闭区间,表示函数在区间上的最大值,则______,若,则的值为______.32.(2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习)已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在非零常数,对任意,有成立.(1)给出下列两个函数:,,其中属于集合的函数是__________.(2)若函数,则实数的取值集合为__________.
高考数学专题04 三角函数(新定义)(原卷版)
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