高考数学专题1 函数与导数压轴小题(解析版)

2023-11-14 · U1 上传 · 58页 · 3.4 M

专题1函数与导数压轴小题一、单选题1.(2021·重庆·西南大学附中高三月考)已知定义在R上的函数满足如下条件:①函数的图象关于y轴对称;②对于任意,;③当时,;④.若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点,则直线l斜率k的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【分析】结合①②可知是周期为2的函数,再结合④可知是周期为的函数,结合③作出在上的图像,然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数的图象关于y轴对称,所以为偶函数,即,又因为对于任意,,所以,从而,即是周期为2的函数,因为,则图像是的图像的横坐标缩短为原来的得到,故也是偶函数,且周期为,结合当时,,可作出在的图像以及直线的图像,如下图所示:当时,易知,即,则直线的斜率,过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点,则只需,即直线l斜率k的取值范围是.故选:A.2.(2021·江西·高三月考(理))已知,则()A. B.C. D.【答案】C【分析】构造函数,,利用导数研究函数的单调性,得出,的单调性,得出,令,可得出,再由得出的,令,得出,从而得出结果.【详解】解:先证,令,则,可知在上单调递增,所以,即,令,则,所以;再证即证,令,则,所以在上单调递增,所以,即,令,则,所以,从而.故选:C.3.(2021·上海市吴淞中学高三期中)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间,,与半圆相交于F、G两点,与三角形ABC两边相交于点E、D,设弧FG的长为,,若从平行移动到,则函数的图像大致是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定条件求出函数的解析式,再借助函数性质即可判断作答.【详解】依题意,正的高为1,则其边长,如图,连接OF,OG,过O作ON⊥l1于N,交l于点M,过E作EH⊥l1于H,因OF=1,弧FG的长为,则,又,即有,于是得,,,因此,,即,,显然在上单调递增,且图象是曲线,排除选项A,B,而,C选项不满足,D选项符合要求,所以函数的图像大致是选项D.故选:D【点睛】方法点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.4.(2021·四川资阳·高三月考(理))若不等式恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【分析】把不等式转化为对x>0恒成立,对a是否为0分类讨论:当时直接判断;当时,利用分离参数法,记,利用导数判断单调性,求出最值,即可求出的取值范围.【详解】由不等式恒成立,可知对x>0恒成立.当时,对x>0恒成立.当时,,(x>0),,可知在上单增.当,;当,;所以,使得,即.当时,有,所以令,则.因为,则令,可得,所以在上单减,在上单增,所以在处取得最小值.因为,所以,所以,即所以.所以当时,有,所以.令.因为,所以在上单减,当,.所以综上所述:的取值范围是.故选:A【点睛】恒成立问题①参变分离,转化为不含参数的最值问题;②不能参变分离,直接对参数讨论,研究的单调性及最值;③特别地,个别情况下恒成立,可转换为(二者在同一处取得最值).5.(2021·安徽·六安一中高三月考(理))已知函数,若当时,有解,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C【分析】设,可将简化,利用参变分离来求解.【详解】有解,即,设,则,不等式转化成在时有解,则有解,记,则,再令,则,那么在时递增,所以,于是,在时递增,故,记,,于是有解,只需要.故选:C6.(2021·广西桂林·模拟预测(理))已知函数,,设为实数,若存在实数,使,则实数的取值范围为()A. B.C. D.【答案】C【分析】由含绝对值的函数和对数函数的单调性,可求得的值域记为A,若存在实数,使,即,结合二次不等式的解法可解得的取值范围【详解】,当时,的值域为当时,的值域为所以的值域记为若存在实数,使,即,即,解得的取值范围为故答案为:C7.(2021·北京市第十三中学高三期中)在长方形中,,点是边上任意一点,设,,与的函数关系式记为,则()A.函数有一个极大值,无极小值 B.是函数的对称轴C.函数的最大值为 D.函数的增区间为【答案】B【分析】首先结合两角和的正弦公式表示出函数的解析式,进而结合对称性的定义证得函数关于直线对称,即可判断B选项,再结合函数的对称性,先研究函数在上的图象与性质,即可判断ACD选项.【详解】因为,,所以,所以因为,所以,则因为,所以函数关于直线对称,故B正确;由函数的对称性,不妨先讨论上的图象与性质,令,则令,则,所以时,,单调递增;时,,单调递减;且,,所以存在使得,且时,,即,所以单调递减,且时,,即,所以单调递增,且,结合复合函数的单调性可知在单调递增,在单调递减,所以在处取得极大值,由函数的对称性可知,所以在内也有一个极大值,故AD错误;又时,,即,所以单调递增,结合复合函数的单调性可知在单调递减,因此处不是最大值,故C错误;故选:B.【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.关键是分离参数k,把所求问题转化为求函数的最小值问题.(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.8.(2021·山西吕梁·高三月考(理))设,,,,,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】根据幂函数的单调性判断的大小,构造利用导数研究单调性,进而确定的符号即可判断的大小.【详解】,而,令,则,,∴时,递减;而,,∴上,即递减,则在上,∴由,则,即.综上,.故选:D9.(2021·山西吕梁·高三月考(理))关于函数,,下列四个结论中正确的个数为()个①在上单调递减,在上单调递增;②有两个零点;③存在唯一极小值点,且;④有两个极值点.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】①反证,求导并发现相同区间的单调性不一致②转化并数形结合发现零点③用零点存在定理和函数的单调性可求证④转化成用导数证明恒成立问题,结合零点存在定理和函数的单调性求解.【详解】因为时,,,所以所以在上单调递增,故①错误.有两个零点等价于有两个根,即函数与有两个交点,根据与的图象,可知在上有两个交点,故②正确.,∵,∴,,∴∴存在,使得且∴在上,,在上,,在上,单调递减,在上,单调递增,∴在上存在唯一极小值点.∵,则∴,故③正确.令则,当时,,,,当时,,.∴在恒成立,∴单调递增且,,∴存在唯一零点,使得∴,,即,,,即,∴在处取得极小值故有唯一极小值点,故④错误.故选:C.10.(2021·山西太原·高三期中)设函数,有四个实数根,,,,且,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【分析】根据分段函数解析式研究的性质,并画出函数图象草图,应用数形结合及题设条件可得、、,进而将目标式转化并令,构造,则只需研究在上的范围即可.【详解】由分段函数知:时且递减;时且递增;时,且递减;时,且递增;∴的图象如下:有四个实数根,,,且,由图知:时有四个实数根,且,又,由对数函数的性质:,可得,∴令,且,由在上单增,可知,所以故选:A11.(2021·安徽·淮南第一中学高三月考(理))若,,且,则()A. B. C. D.【答案】A【分析】由于对数函数的存在,故需要对进行放缩,结合(需证明),可放缩为,利用等号成立可求出,进而得解.【详解】令,,故在上单调递减,在上单调递增,,故,即,当且仅当,等号成立.所以,当且仅当时,等号成立,又,所以,即,所以,又,所以,,故.故选:A.12.(2021·山西·太原五中高三月考(理))关于的方程有三个不等的实数解,,,且,则的值为()A. B. C. D.【答案】B【分析】令,用导数画出其图象,得到,将关于的方程有三个不等的实数解,,,转化为方程有两个不等的实数解,结合韦达定理求解.【详解】令,则,当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,所以当时,函数取得最大值,函数的图象如图所示:则,由图象知:,因为关于的方程有三个不等的实数解,,,所以方程有两个不等的实数解,由韦达定理得:,所以,故选:B13.(2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考(理))设是函数的导数,,则()A. B.C. D.【答案】C【分析】令,利用可求得;设,利用导数可确定单调性,结合可得单调性,从而确定的最小值.【详解】令,则,,,即,令,则,在上单调递增,又,当时,,即,单调递减;当时,,即,单调递增;.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题解题关键是能够将问题转化为最值的求解问题,利用导数确定单调性,利用单调性确定最值点,从而确定大小关系.14.(2021·全国·模拟预测)若点不在函数的图象上,且过点仅能作一条直线与的图象相切,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】A【分析】根据题意,可知,对函数求导得,设切点为,利用导数的几何意义可知切线的斜率,结合两点间的斜率公式化简得,构造新函数设,将问题可转化为仅有1个零点,再利用导数研究函数的单调性和零点,从而可知,列出关于的不等式,即可求出的取值范围.【详解】解:已知点不在的图象上,则,所以,而,设过点的直线与的图象切于点,则切线的斜率,则,整理得,设,由于过点仅能作一条直线与的图象相切,则问题可转化为仅有1个零点,,令,解得:或,令,即,解得:或,令,即,解得:,所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,可知在区间或区间上必有一个零点,所以可知与同号,则,即,解得:或,所以的取值范围为.故选:A.15.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中(理))设函数在上的导函数为,若,,,,则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】A【分析】构造函数得到也是上的单调递增函数.,分析得到函数关于点对称.由得到,即得解.【详解】构造函数,所以也是上的单调递增函数.因为,所以关于直线对称,所以,(为常数),,令,所以.因为,所以所以,所以函数关于点对称.由得到,因为,所以,所以,所以,所以.故选:A16.(2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考(理))已知数列满足,满足,,则下列成立的是()A. B.C. D.以上均有可能【答案】C【分析】由题设可得且,根据等式条件有,应用放缩法可得,构造并利用导数研究单调性可得上,则即可得到答案.【详解】由题设,,,即数列均为正项,∴,当时等号成立,当时,有,以此类推可得与题设矛盾,综上,,故,即.∵,∴,令,则,当时,即递减,当时,即递增,∴,故上,即,∴故选:C【点睛】关键点点睛:由条件等式结合放缩法得到的不等关系,再利用导数研究的单调性确定有,根据目标式作放缩处理得到关于的二次函数形式求最值.17.(2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考(文))已知函数满足,且当时,成立,若,,,则a,b,c的大小关系是()A. B.C. D.【答案】B【分析】构造函数,利用奇函数的定义得函数是奇函数,再利用导数研究函数的单调性,结合,再利用单调性比较大小得结论.【详解】因为函数满足,且在上是连续函数,所以函数是偶函数,令,则是奇函数,且在上是连续函数,则,因为当时,成立,即,所以在上单调递减,又因为在上是连续函数,且是奇函数,所以在上单调递减,则,,,因为,,,所以,所以,故选:B.【点睛】关键点点睛:本题考查的是比较大小问题,涉及到的知识点包括函数的奇偶性以及利用导数研究函数的单调性,解题的关键是构造函数,属于中档题.18.(2021·全国·模拟预测(理))已知a>0,函数f(x)=2eax﹣x,若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围是()A.[,) B.(0,] C.(0,) D.[,]【答案】C【分析】转化函数恰有两个零点为f(x)=x有两个解,即eax=x恰有两个解,即a恰有两个解,研究函数g(x)的单调性和取值范围,分析即得解【详解】因为函数,因此F(x)=0,即eaf(x)=eax,

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