高考数学第3讲 渐近线问题（解析版）

第3讲渐近线问题一、单选题1．（2012·四川泸州市·高三月考（理））已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A．(1,2) B．(1,2) C． D．(2,+∞)【答案】C【详解】解：解：已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b/a，∴b/a≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C2．（2021·山西省古县第一中学高二期末（文））已知双曲线与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线有交点，则应满足，结合，可得e的范围.【详解】解：如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线(，)与直线有交点，则有，，即，解得，得.双曲线离心率的取值范围为.故选：A【点晴】直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑.3．（2021·全国高三专题练习（文））设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设条件推导出，，可得的坐标，由两点间的距离公式得，计算求出离心率．【详解】由题设知双曲线C：的一条渐近线方程为：，∵右焦点，且，∴，∴，由，解得，∴，∴，平方化简得，又，∴，即，，即，所以，故得，故选：D.4．（2019·全国高二专题练习（理））已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．（2019·安徽宿州市·高二期中（文））过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（ ）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】【分析】先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．【详解】如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．故∠2+∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒．∴，e2＝4⇒e＝2．故选：B．【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．6．（2018·江西九江市·九江一中高二月考（理））F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3，则此双曲线的离心率为（ ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．【详解】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，可得A的横坐标为，由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，可得B的横坐标为．由3，可得3（c）c，即为2c，由e，可得2，即有e4﹣4e2+3＝0，解得e2＝3或1（舍去），即为e．故选：D．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．7．（2020·安徽高三二模（理））已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为，有，得.双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，则，即，故，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.8．（2020·湖北高三二模（文））已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据题意，设P点坐标为，满足椭圆方程，得，再根据双曲线方恒列出渐近线方程，表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则系数为零，再计算离心率.【详解】设，则有，即双曲线的两渐近线方程为，则有依题意，要使得该式子为定值，则的值与无关，则必须，则.故选:A.【点睛】本题考查双曲线方程渐近线方程，考查离心率问题，属于中等题型.9．（2020·广东汕头市·金山中学高二月考）已知双曲线C：(，)的左右焦点分别为，，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．设，则，由，解得或，∴，．又为双曲线的左顶点，则，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，则，所以，则，即，所以∴．故选：D.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10．（2020·河北唐山市·（文））已知是双曲线：的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.【详解】设,因为轴,故.又直线：,联立直线:可得,.又,故,即.化简可得,故.故离心率.故选：D【点睛】本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.11．（2020·四川广元市·高三三模（文））已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.【详解】因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.不妨设.又四边形的面积为,故,即,解得,故.故离心率为.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.二、填空题12．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.【答案】【分析】作出图形，根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】如下图所示，双曲线的渐近线方程为，由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线的倾斜角，所以，，因此，.所以，该双曲线的离心率为取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解．13．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【分析】根据向量条件，求出的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论.【详解】由题意，设，直线的方程为，与渐近线联立，可得的坐标为，，即，，代入双曲线方程可得，，化简可得，，故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14．（2021·内蒙古赤峰市·高三月考（文））设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【分析】画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程【详解】解：因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为,所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：15．（2020·上海高三专题练习）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为___________【答案】【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，求出点的坐标，由求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可求得的值，进而解出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，则所在直线的斜率为，直线的方程为：，联立，解得，设，由，得，所以，解得：，即，代入，得，整理得，则，.因此，双曲线的渐近线方程为．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键在于求出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.16．（2020·湖南株洲市·株洲二中高二月考（文））已知是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，在线段上，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______.【答案】【分析】由题意，，，可得，利用，，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意，，，，，，.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，掌握双曲线的渐近线求法、离心率求法是解决此题的关键，属于基础题.17．（2020·浙江高三专题练习）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为P，与另一条渐近线交于点.若，则该双曲线的离心率为_______.【答案】【分析】由题意结合双曲线的性质可设直线的方程为，联立方程组可得点、点，再由平面向量的知识可得，化简后结合双曲线的离心率公式即可得解.【详解】由题意可得该双曲线的渐近线方程为，设右焦点，不妨令直线垂直于直线，则直线的方程为，由可得点，因为，所以点，由可得点，又，所以即，所以，所以该双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.18．（2021·广西桂林市·高二期末（文））已知点P是双曲线上任意一个点，若点