高考数学第4讲 内切圆问题（解析版）

第4讲内切圆问题一、单选题1．（2020·全国高三专题练习）已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A．（1，） B．（1，2）C．（1，2] D．（1，]【答案】D【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．【详解】设的内切圆的半径为，则，因为，所以,由双曲线的定义可知，所以，即，又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．2．（2020·宁夏银川市·银川一中高三二模（文））已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.3．（2020·全国高三专题练习（理））已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.4．（2018·浙江高三其他模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设点在第一象限，由双曲线的定义和勾股定理，得到，进而得到，结合双曲线的离心率的范围，即可求解.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于，，三点，则，，．又，所以，设，则，所以切点为双曲线的右顶点，所以，，在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因为，所以双曲线的离心率为.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程，以及离心率的计算，其中求解双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．5．（2020·全国高三专题练习）已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，边上的切点分别为易见横坐标相等，则由即得即，记的横坐标为，则，于是，得同理内心的横坐标也为则有轴，设直线的倾斜角为，则则故选D.6．（2020·全国高二开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围．【详解】解：记边、、上的切点分别为，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.设直线的倾斜角为，则，，所以，由双曲线可得，，，所以，由于为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的范围是.故选：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于难题．7．（2020·江西赣州市·高三月考（理））为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得到三角形为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，再根据内切圆的半径为，建立方程求解.【详解】如图所示：因为，所以三角形为直角三角形，故它的内切圆半径，所以故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8．（2018·广西贺州市·高二期末（文））已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】由双曲线的定义知，又轴，所以的内切圆半径为，由，得，故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的内切圆半径为，从而找出之间的关系，求出离心率．9．（2016·湖南高三月考（理））如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为A．2 B．4 C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为，且的内切圆半径为，所以，所以，所以，因为图形的对称性可知，，所以，又因为，所以，所以双曲线的离心率为，故选A．考点：双曲线的定义及其简单的几何性质．10．（2020·广东（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为A． B．2 C． D．【答案】A【详解】∵由，∴内切圆半径为，∴离心率，故选A11．（2020·湖北武汉市·高三二模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的右支上一点，点和分别是的重心和内心，且与轴平行，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨设点，，，由题意，则点到直线、、的距离均为，点到的距离为，利用三角形面积公式可得，再由即可得解.【详解】不妨设点，，，则，，，由点是的重心，点即，又与轴平行，点是的内心，点到直线、、的距离均为，点到的距离为，，又，，，.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，属于中档题.12．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．【答案】C【详解】由得，所以,由,因此,选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．（2020·安徽安庆市·高三三模（理））双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，设圆与三边的切点分别为，，，得到，故，计算得到答案.【详解】如图，设圆与三边的切点分别为，，，根据圆切线的性质和双曲线的定义，有.又，所以，所以，即点的横坐标为3，所以.因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、多选题14．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知，为双曲线：的左右焦点，过点作渐近线的垂线交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则下列结论正确的有（）A． B．内切圆的半径为C． D．双曲线的离心率为【答案】ABD【分析】首先确定直线的方程，以及内切圆圆心的坐标，利用圆心到直线的距离确定内切圆的半径，以及求得直线的直线方程，判断AB选项，联立和的直线方程，求得点的坐标，代入双曲线方程，求离心率，并求得点的坐标，判断C.【详解】如图，直线为：，即，根据对称性可知在轴上，的内切圆的圆心恰好落在以为直径的圆上，故，故，点到直线的距离，故B正确；设直线，即，点到直线的距离，平方后化简得，解得：或，当时，直线与的交点的横坐标是0，不满足条件，故舍去，当时，直线，与直线垂直，即，故A正确；联立方程组，解得：，代入双曲线方程得，化简整理得：，故，故D正确；直线，当时，，即，，，所以，故C不正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用圆心到直线的距离求内切圆的半径，以及利用圆心到直线的距离求的直线方程，再一个关键求得点的坐标，代入双曲线方程，计算过程是关键.三、填空题15．（2019·四川成都市·树德中学高二期中（文））已知点是双曲线右支上一点,,分别是双曲线的左右焦点,为的内心,若,则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设出的内切圆的半径,利用三角形面积公式、双曲线的定义、离心率的公式可以求出双曲线的离心率的值.【详解】设的内切圆的半径为,.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的离心率公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.16．（2017·全国）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.【答案】【解析】设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒×PF2×r＝×PF1×r－λ×F1F2×r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝＝.17．（2020·银川市·宁夏大学附属中学（理））已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为__________.【答案】【分析】根据题意，设△ABF2内切圆的半径为r，三角形的周长为4a,进而求出三角形面积的表达式，再求出,求出△ABF2的面积，进而求出内切圆的半径．【详解】根据题意,设△ABF2内切圆的半径为r；椭圆的方程为，三角形的周长为20，故，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则,故，∴，解得，所以内切圆的半径为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的定义，运用面积相等即可求出内切圆的半径，属于基础题.18．（2021·全国高三专题练习）已知F1､F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.【答案】【分析】连接交于点，由题意可得，即求.【详解】由内切圆的性质可知，的内切圆和的内切圆都与轴相切于双曲线的右顶点，可知三点共线.连接交于点，如图：直线l的倾斜角为60°，所以，，在与中，则，则为故答案为：19．（2018·湖南益阳市·高三月考（理））F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.【答案】【分析】设为内切圆圆心，用、表示出，，根据列方程得出，的关系即可得出离心率．【详解】解：，．的外接圆半径为，的内切圆的半径为．设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，设，，则，①不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，②由①②可得，，，且，分