高考数学第8讲 直接法(解析版)

2023-11-14 · U1 上传 · 11页 · 1.1 M

第8讲直接法一.选择题(共17小题)1.(2020•石家庄模拟)过双曲线右焦点的直线交的右支于,两点,直线是坐标原点)交的左支于点.若,且,则双曲线的离心率为 A. B. C. D.【解答】解:取左焦点,设,则,由题意可得,所以,所以,,而,所以,,进而可得,在直角三角形中,,所以,解得,所以,,,,在三角形中,所以可得:,所以,故选:.2.(2021•合肥一模)设双曲线的左、右焦点分别为,,曲线上一点到轴的距离为,,则双曲线的离心率为 A. B. C. D.4【解答】解:设为第一象限内的点,,,,可得,在△中,可得,即为,即,又△的面积为,化为,由,可得,解得(负的舍去),故选:.3.(2019•青岛一模)已知双曲线,为坐标原点,过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于,,过的右焦点右侧的点且垂直于轴的直线交的渐近线于,,若与的面积之比为,则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.【解答】解:由三角形的面积比等于相似比的平方,则,,,的渐近线方程为,故选:.4.(2014秋•滕州市校级期末)已知双曲线的方程为,它的左、右焦点分别,,左右顶点为,,过焦点先作其渐近线的垂线,垂足为,再作与轴垂直的直线与曲线交于点,,若,,依次成等差数列,则离心率 A. B. C.或 D.【解答】解:由题设知双曲线的一条渐近线方程为,右焦点,,,轴,,解得,,,若,,依次成等差数列,,,依次成等差数列,,,即,解得.故选:.5.已知、分别为双曲线的左、右焦点,圆与该双曲线相交于点,若,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.【解答】解:圆的半径为,圆的直径为,,,,,,,故选:.6.(2020秋•河南月考)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线的左支交于,两点.若,则 A.4 B.6 C.8 D.12【解答】解:双曲线的,根据双曲线的定义,得,,两式相加得,即,又,所以.故选:.7.(2019春•安徽月考)已知双曲线的左、右焦点分别为,,为右支上一点且直线与轴垂直,若的角平分线恰好过点,则△的面积为 A.12 B.24 C.36 D.48【解答】解:设,则,的角平分线恰好过点,,即.又,,即,解方程组,得,(舍或,,△的面积为.故选:.8.(2018秋•中原区校级月考)已知直线与双曲线相切于点,与双曲线两条渐近线交于,两点,则的值为 A.3 B.4 C.5 D.与的位置有关【解答】解:取点,则,,,取点,则,,,故选:.9.已知,分别为双曲线的中心和右焦点,点、分别在的渐近线和右支上,若,轴,,则的离心率为 A. B. C.2 D.3【解答】解:知,分别为双曲线的中心和右焦点,不妨点、分别在的渐近线和右支上,若,可得,则的纵坐标为:,轴,则的纵坐标为:,横坐标为:,则,,可得:,,化简可得,可得双曲线的离心率为:.故选:.10.(2020秋•北碚区校级期中)已知,分别是双曲线的中心和右焦点,以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,异于原点,若,则双曲线的离心率为 A.2 B. C. D.【解答】解:如图,以为直径的圆的方程为,即,联立,解得,即点的纵坐标为.,即,故选:.11.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、,若点满足,则该双曲线的离心率是 A. B. C. D.【解答】解:双曲线两条渐近线分别为:,由得,,则点的坐标是,,同理可求的坐标是,,设的中点是,则的坐标是,,因为,所以,因为的斜率是,所以的斜率是,则,化简得,所以,则,所以该双曲线的离心率是,故选:.12.(2019•南昌三模)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,,若点满足,则该双曲线的离心率是 A. B. C. D.【解答】解:由双曲线的方程可知,渐近线为,分别与联立,解得,,,,中点坐标为,,点满足,,,,.故选:.13.(2018秋•聊城期末)已知点,分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,△为等腰三角形,且顶角为,则该双曲线的离心率为 A. B. C.2 D.【解答】解:可设点在双曲线的右支上,且△的,,可得,由双曲线的定义可得,可得.故选:.14.(2017•普兰店市二模)已知双曲线的左、右焦点分别为,,为坐标原点,是双曲线在第一象限上的点,,直线交双曲线于另一点,若,且,则双曲线的离心率为 A. B. C. D.【解答】解:由题意,,由双曲线的定义可得,,可得,,由四边形为平行四边形,又,可得,在三角形中,由余弦定理可得,即有,即,可得,即.故选:.15.(2020秋•五华区校级月考)已知双曲线的左、右焦点分别为,,是双曲线上一点,△是以为底边的等腰三角形,且,则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D.【解答】解:△是以为底边的等腰三角形,,在△中,由余弦定理知,,由双曲线的定义知,,,,,,,离心率,即.故选:.16.(2020•全国二模)已知双曲线上存在一点,过点向圆做两条切线、,若,则实数的取值范围是 A. B. C. D.【解答】解:双曲线上存在一点,过点向圆做两条切线、,若,可知是正方形,,所以双曲线的实半轴长的最大值为,所以.故选:.17.(2020•武汉模拟)已知,分别为双曲线实轴的左右两个端点,过双曲线的左焦点作直线交双曲线于,两点(点,异于,,则直线,的斜率之比 A. B. C. D.【解答】解:由已知得双曲线,,.故,,.设直线,且,,,.由消去整理得,,两式相比得①,②,将①代入②得:上式.故.故选:.二.多选题(共1小题)18.(2021•江苏一模)已知为坐标原点,,分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线右支上,则下列结论正确的有 A.若,则双曲线的离心率 B.若是面积为的正三角形,则 C.若为双曲线的右顶点,轴,则 D.若射线与双曲线的一条渐近线交于点,则【解答】解:对于,因为,所以的中垂线与双曲线有交点,即有,解得,故选项正确;对于,因为是面积为的正三角形,所以,解得,所以,故,故选项正确;对于,因为为双曲线的右顶点,则,又轴,则,所以,故选项错误;对于,若为右顶点,则射线与双曲线的渐近线交于点,此时,故选项错误.故选:.

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