妙解高考数学填选压轴题专题31 对数单身狗 指数找朋友-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 6页 · 82.3 K

专题31对数单身狗指数找朋友【方法点拨】对数单身狗(提公因式,让落单),指数找朋友(等价转化,让在分母上):①在证明或处理含对数函数的不等式时,通常要将对数型的函数“独立分离”出来,这样再对新函数求导时,就不含对数了,只需一次就可以求出它的极值点,从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程,我们形象的称之为“对数单身狗”.由(这里设),则不含超越函数,求解过程简单.②在证明或处理含指数函数的不等式时,通常要将指数型的函数“结合”起来,即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数,这样再对新函数求导时,只需一次就可以求出它的极值点,从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程,我们形象的称之为“指数找朋友”.由,则是一个多项式函数,变形后可大大简化运算.【典型题示例】例1已知函数,当x≥0时,f(x)≥x3+1,则a的取值范围是.【答案】【分析】遇到f(x)ex+g(x)的形式变形为ex·h(x),其求导后的结果是[ex·h(x)]′=ex·[h(x)+h′(x)],其导数方程是多项式形式,所以它的根与指数函数无关,有利于更快捷地解决问题.【解析】等价于.设函数,则.(i)若2a+1≤0,即,则当x∈(0,2)时,>0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.(ii)若0<2a+1<2,即,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥.所以当时,g(x)≤1.(iii)若2a+1≥2,即,则g(x)≤.由于,故由(ii)可得≤1.故当时,g(x)≤1.综上,a的取值范围是.点评:解决形如f(x)ex+g(x)常见结论ex≥x+1(有时甚至ex≥12x2+x+1),从形的角度看,它揭示了曲线与其切线的位置关系,从数的角度看,它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法,从而顺利突破难点.例2若不等式xlnx≥a(x−1)对所有x≥1都成立,则实数a的取值范围是.【答案】(−∞,1]【解析】原问题等价于lnx−a(x−1)x≥0对所有x≥1都成立,令fx=lnx−a(x−1)x,x≥1 ,则f'x=x−ax2.(1)当a≤1时,f'x=x−ax2≥0恒成立,即f(x)在[1,+∞)上单调递增,因而fx≥f1=0恒成立;(2)当a>1时,令f'x=0,则x=a,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,f(x)min=fa=lna−a+1<0,不合题意.综上所述,实数a的取值范围是(−∞,1].点评:上述解法优势在于,将lnx的系数化“1”后,就可以有效避免求导后再出现对数函数,避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在.【巩固训练】1.已知ex≥1+ax对任意x∈[0,+∞)成立,则实数a的取值范围是________.2.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,当x≥0时,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围为________.3.已知对任意的,则实数的取值范围是.4.已知关于的方程在上有且只有一个实数根,则实数的取值范围是.5.已知的零点不少于两个,则实数的取值范围是.6.已知有两个零点,则实数的取值范围是.7.已知当x≥1时,x2lnx−x+1≥m(x−1)2恒成立,则实数m的取值范围是.【答案与提示】1.【答案】(-∞,1]【解析】根据常用不等式ex≥x+1,且y=x+1与y=ex相切于(0,1),又y=ax+1也过点(0,1),观察图象可知,要使ex≥1+ax对任意x∈[0,+∞)成立,则a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].2.【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))【解析一】由f′(x)=ex-1-2ax,又ex≥x+1,所以f′(x)=ex-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x,所以当1-2a≥0,即a≤eq\f(1,2)时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0,满足题意;又x≠0时,ex>x+1,所以可得e-x>1-x,从而当a>eq\f(1,2)时,f′(x)=ex-1-2ax≤ex-ex·e-x+2a(e-x-1)=(1-e-x)·(ex-2a),故当x∈(0,ln2a)时,f′(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0,不合题意.综上所述,实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2))).【解析二】因为ex≥x+1,所以当a≤0时,ex≥ax2+x+1恒成立,故只需讨论a>0的情形.令F(x)=e-x(1+x+ax2)-1,问题等价于F(x)≤0,由F′(x)=e-x[-ax2+(2a-1)x]=0得x1=0,x2=eq\f(2a-1,a).当0<a≤eq\f(1,2)时,F(x)在[0,+∞)上单调递减,所以F(x)≤F(0)=0恒成立;②当a>eq\f(1,2)时,因为F(x)在[0,x2]上单调递增,所以F(x2)≥F(0)=0恒成立,此时F(x)≤0不恒成立.综上所述,实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2))).3.【答案】【提示】设,则分类讨论,将导函数的零点、定义域的端点比较,分、、、四种情况.4.【答案】5.【答案】【提示】6.【答案】【提示】7.【答案】(−∞,32]【解析】原不等式等价于lnx−m(x−1)2+(x−1)x2≥0,        令fx=lnx−m(x−1)2+(x−1)x2 ,x≥1,则f'(x)=x−1[x−2m−2]x3,令f'x=0,得x1=1,x2=2m−2.(1)当2m−2≤1时,即m≤32时,对x≥1 ,f'x≥0,f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以fx≥f1=0,满足题意;(2)当2m−2>1时,即m>32时,对x∈(1,2m−2),f'x<0,f(x)在(1,2m−2)上单调递减,所以f2m−2

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐