专题09三次函数的对称性、穿根法作图象【方法点拨】对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a≠0),给出以下常用结论:(1)当a>0,b2-3ac>0时,三次函数的图象为N字型;当a<0,b2-3ac>0时,三次函数的图象为反N字型;当a>0,b2-3ac≤0时,单调递增,当a<0,b2-3ac≤0时,单调递减.(2)三次函数有对称中心(x0,f(x0)),f″(x0)=0.【典型题示例】例1(2021·全国乙卷·理10)设,若为函数的极大值点,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否编号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到所满足的关系,由此确定正确选项.【解析】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.当时,由,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.综上所述,成立.故选:D例2若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是.【答案】【解析】.函数的一个极值点是,所以以为界与比较,进行分类讨论.①当时,如图一,由得,或,欲使函数在区间上单调递增,只需,即.②当时,如图二,在区间上单调递增,满足题意.综上知,实数的取值范围是.xyOa(图二)aOxy(图一)点评:作三次函数f(x)=a(x-x1)2(x-x2)(其中a≠0,x1≠x2)示意图的方法要点有二:(1)当a>0时,三次函数的图象为N字型(最右区间增);当a<0时,三次函数的图象为反N字型(最右区间减).(2)x1既是函数的零点,又是函数的极值点,从形上看,函数图象此时与x轴相切(或称“奇穿偶回”,即x1、x2都是函数的零点,x1是二重根,图象到此不穿过x轴,即“回”,这种作函数图象的方法称为“穿根法”).例3已知a,bR且ab≠0,若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立,则()A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0【答案】C【分析】本题的实质是考察三次函数的图象,设,欲满足题意,从形上看则必须在x≥0时有两个重合的零点才可以,对分与两种情况讨论,结合三次函数的性质分析即可得到答案.【解析】因为,所以且,设,则的零点为当时,则,,要使,必有,且,即,且,所以;当时,则,,要使,必有.综上一定有.故选:C例4已知a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,那么a+b的值是.【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数的对称性、变形为“结构相同”后逆用函数的单调性.【解析】由题意知a3-3a2+5a-3=-2,b3-3b2+5b-3=2,设f(x)=x3-3x2+5x-3,则f(a)=-2,f(b)=2.因为f(x)图象的对称中心为(1,0),所以a+b=2.【巩固训练】1.函数图象的对称中心为_____.2.已知直线与曲线有三个不同的交点,,,且,则__________.3.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为.4.已知函数的导函数为,若函数在处取到极小值,则实数的取值范围是.5.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是.6.设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=______________.7.已知函数,,其中,且,如果函数的值域是,则实数的取值范围为________.8.已知函数,则函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值是.9.已知函数的定义域是,值域是,则实数的取值范围是.【答案或提示】1.【答案】【解析一】由题意设对称中心的坐标为,则有对任意均成立,代入函数解析式得,整理得到:,整理得到对任意均成立,所以,所以,.即对称中心.【解析二】∵f″(x)=6x-6令f″(x)=6x-6=0解得x=1将x=1代入得f(x)得f(1)=2∴对称中心.2.【答案】3【解析】由题意,函数是奇函数,则函数的图象关于原点对称,所以函数的函数图象关于点对称,因为直线与曲线有三个不同的交点,且,所以点为函数的对称点,即,且两点关于点对称,所以,于是.3.【答案】【解析】因为,且由得:或所以函数的图象是增-减-增型,且在或处取得极值欲使函数在内有且只有一个零点,当且仅当解之得.当时,增;时,减,故,,所以在上的最大值与最小值的和为.4.【答案】5.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】【解析】设此最小值为m.①当 因为: 则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..②当1
妙解高考数学填选压轴题专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象-妙解高考数学填选压轴题
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