专题08递推函数【方法点拨】类比于数列的递推关系,我们把具有f(x＋1)＝2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x＋1)＝2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．f(x)＝f(x－1)+1等以此类推.【典型题示例】例1设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，则m的取值范围是( )A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3)))【答案】 B【分析】作出图示，求出函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．【解析一】∵时，，∴当时，，故，同理，当时，，∴，···，当时，，∴所以，当，当时，，令，解之得：为使对任意，都有，则m的取值范围是.故选B.【解析二】 当－10时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0＜x≤2，,\f(1,2)f（x－2），x＞2，))那么函数g(x)＝xf(x)－1在[－7，＋∞)上的所有零点之和为________.7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）A．4 B．6 C．8 D．108.已知函数，给出下列命题，其中正确的有（）A．；B．方程有四个实根；C．当时，；D．若函数在上有8个零点，则的取值范围为.9.定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________．10.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A． B． C． D．11.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（）A． B． C． D．【答案或提示】1.【答案】(－∞，1)【解析】x≤0时，f(x)＝2－x－1，0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.故x＞0时，f(x)是周期函数，如图所示．若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．2.【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))【解析】 根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).3.【答案】10000【提示】当时，，，此时的两根之和是1当时，，，此时的两根之和是3当时，，，此时的两根之和是5以此类推，当时，的两根之和是199所以方程的所有解的和为1+3+5+···+199=10000.4.【答案】6【提示】转化为两函数、交点个数.5.【答案】[，)【解析】根据题意作出函数图像，如下：故m≥．6.【答案】8【提示】转化为两函数、在[－7，＋∞)上的所有交点横坐标和的问题，两函数均为奇函数，故在[－7，7]上横坐标和为0，只需考虑x∈(－7，＋∞)即可，利用递推关系作出图象.7.【答案】D【分析】由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作