专题18几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数的对称中心为(,),其中,即,.记忆方法:类比于二次函数的对称轴方程,分母中.2.一次分式函数(或称双曲函数)的对称中心为.记忆方法:横下零,纵系数(即横坐标是使分母为0的值,而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值).3.指数复合型函数的对称中心为.记忆方法:横下对,纵半分(即横坐标是使分母取对数的值,但真数为保证有意义,取的是绝对值而已,而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半).【典型题示例】已知函数,则满足不等式的实数的取值范围是.【答案】【解析】的对称中心是,其定义域为R且单减令,则为R上的单调递减的奇函数由得即因为为奇函数,故所以又在R上单减,所以,解之得所以实数的取值范围是.例2设是函数的导数,是的导数,若方程=0有实数解,则称点(,)为函数的“拐点”.已知:任何三次函数都有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.设,数列的通项公式为,则=.【解析】令得,对称中心为,所以对于任意恒成立因为,所以所以所以.例3已知函数与在(,且)上有个交点,,……,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】由图可知交点成对出现,每对交点关于点(0,1)对称,横坐标和为0,纵坐标和为2,所以,选B.【巩固训练】1.对于定义在上的函数,点是图像的一个对称中心的充要条件是:对任意都有,判断函数的对称中心______.2.函数y=的对称中心是.3.设函数,数列是公差不为0的等差数列,,则()A、0B、7C、14D、214.已知函数(其中)图象关于点P(-1,3)成中心对称,则不等式的解集是.5.在平面直角坐标系中,已知直线与曲线依次交于三点,若点使,则的值为_____.6.已知函数的图象关于坐标原点对称,则实数的值为_____.7.已知函数,则满足不等式的实数的取值范围是.8.已知,则的值为.9.已知函数=,若对,恒成立,则的取值范围是.10.已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.已知函数,若,其中,则的最小值为A. B. C. D.12.函数在上的所有零点之和等于______.【答案与提示】1.【答案】【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件,列出式子,即可得出结果.解:因为,由于.即,.所以是的一个对称中心.故答案为:.2.【答案】(4,-1)【解析】3.【答案】D【提示】根据函数值之和求自变量之和,很自然会去考虑函数的性质,而等式常常考查对称性,从而尝试去寻求函数的对称中心.函数可以视为由与构成,它们的对称中心不一样,可以考虑对函数的图象进行平移,比如,引入函数,则该函数是奇函数,对称中心是坐标原点,由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.4.【答案】【解析】函数的对称中心为(-1,a),与P(-1,3)比较得a=3.此时,不等式,即,由序轴标根法即得解集为.5.【答案】1【提示】过定点(2,2),对于三次函数,令得,又,所以也关于点(2,2)对称,所以,.6.【答案】-17.【答案】【解析】的对称中心是,其定义域为R且单增(下略).8.【答案】【思路一】从所求式中自变量的特征,被动发现函数的对称性.设若,尝试去求的值,易得.【思路二】主动发现函数的对称性,,设,则其对称中心为,则的对称中心也为,故.9.【答案】10.【答案】D【分析】构造函数,判断函数的奇偶性与单调性,将所求不等式转化为,即,再利用函数单调性解不等式即可.【解析】,令,则,可得是奇函数,又,又利用基本不等式知当且仅当,即时等号成立;当且仅当,即时等号成立;故,可得是单调增函数,由得,即,即对恒成立.当时显然成立;当时,需,得,综上可得,故选:D.11.【答案】A【分析】通过函数解析式可推得,再利用倒序相加法求得,得到的值,然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.【解析】因为,所以,令则,所以所以,所以,其中,则.当时当且仅当即时等号成立;当时,,当且仅当即时等号成立;因为,所以的最小值为.故选:A.12.【答案】8【分析】通过化简函数表达式,画出函数图像,分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和.【解析】零点即,所以即,画出函数图像如图所示函数零点即为函数图像的交点,由图可知共有8个交点图像关于对称,所以各个交点的横坐标的和为8
妙解高考数学填选压轴题专题18 几类函数的对称中心及应用-妙解高考数学填选压轴题
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