妙解高考数学填选压轴题专题14 二元不等式恒成立问题-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 7页 · 605.5 K

专题14二元不等式成立问题【方法点拨】1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法,如例1、例2,此类题目的特征是:含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围,只需将另一参数视为“主元”,求出最值即可.2.对于“或求有关的代数式取值范围”型,利用几何意义,转化为比较零点来处理.【典型题示例】例1若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b<0对任意的实数x∈[1,3]及任意的实数b∈[2,4]恒成立,则实数a的取值范围是 .【答案】(﹣∞,﹣2)【分析】本题的特征是,较一般的不等式恒成立问题,增加了一个变量,一般是关于该变量的“一次式”,其解法是:变更主元,先看作“一次变量”的恒成立问题即可.【解析】先视为以b为主元的函数,设f(b)=b+(x3﹣3x2+ax)则f(b)为关于b的一次函数,在b∈[2,4]上增,为使f(b)<0恒成立只需f(4)<0,即x3﹣3x2+ax+4<0再考虑x3﹣3x2+ax+4<0在x∈[1,3]恒成立分离参数可得:a<3x﹣x2−4x,设g(x)=3x﹣x2−4x,x∈[1,3],故a<g(x)的最小值由g′(x)=3﹣2x+4x2,可得1<x<2时,g′(x)>0,g(x)递增;2<x<3时,g′(x)<0,g(x)递减,又g(1)=﹣2,g(3)=−43,可得g(x)在[1,3]的最小值为﹣2,∴a<﹣2,故实数a的范围是(﹣∞,﹣2).例2已知函数,若对任意,,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】【解析】由在恒成立,整理得对任意恒成立,所以应有恒成立,即对恒成立.设,则,令,得或,列表如下:8000极小值极大值,所以在的最小值为,又,,所以实数的取值范围是.例3已知a,b∈R,若关于x的不等式lnx≤a(x-2)+b对一切正实数x恒成立,则当a+b取最小值时,b的值为.【答案】ln3-eq\F(1,3).【分析】在平面直角坐标系xOy中,分别作出y=lnx及y=a(x-2)+b的图象,不等式lnx≤a(x-2)+b对一切正实数x恒成立,即直线y=a(x-2)+b恒在曲线y=lnx的上方.a+b最小,即直线y=a(x-2)+b与x=3交点的纵坐标最小.根据图象可知:a+b的最小值为ln3,此时直线y=a(x-2)+b与曲线y=lnx相切于点(3,ln3),因此有:a=eq\F(1,3),从而b=ln3-eq\F(1,3).例4若恒成立,则的取值范围是 .【答案】【分析】取对数,化双曲为“一直一曲”,解法同例3.【解析】对两边取自然对数得故,所以的取值范围是.例5已知,若恒成立,则的取值范围是 .【答案】【分析】所求,为了出现,将变形为,此时的几何意义是直线在x轴上的截距即函数的零点,根据图象可知,当时,曲线在任意一点的切线的零点都不小于曲线的零点,即,所以,的取值范围是.点评:对于或型恒成立,求有关的代数式取值范围问题的解题步骤是:判断函数的凸凹性(当时,函数为凹函数;当时,函数为凸函数),从而得出因凸凹的不同,切线在曲线的上下的不同;凑配条件中的参数系数,求曲线和切线的零点,比较零点的大小即可.例6已知,若不等式恒成立,则的最小值是.【答案】【分析】问题转化为,设、,则两函数左右两侧的凸凹性相反,从形上看,若()固定不变,当变大时,抛物线的开口程度越大,此时越小,欲求使恒成立时的最小值,则两函数图象相切即为“临界状态”;另一方面,,函数的零点为、,故的几何意义是函数的一个零点,零点的最大值即的图象与轴交点运动到最优时,从形上看不能知道,零点即“公切点”时满足题意.【解析】设、则函数的零点即为两函数的“公切点”时满足题意令得,,所以,即,此即为所求的最小值.【点评】本题解法的实质是,构造的两函数的零点相同.本题也可转化为再利用“形”来求解.【巩固训练】1.若不等式,对任意,恒成立,则实数的取值范围为___________.2.设函数,其中.若对于任意的,不等式在上恒成立,则的取值范围为___________.3.设、均为实数,已知函数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;4.已知,若恒成立,则的取值范围是 .5.已知直线与曲线相切,则的最小值是().A.B.C.D.6.若不等式对于任意恒成立,则的最大值是().A.B.C.D.7.已知为自然对数的底数,不等式对任意的恒成立,则的最大值为()A. B. C. D.【答案与提示】1.【答案】2.【答案】.3.【分析】变更主元、分离参数,可得对任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围,【解析】由,得,由于,所以对任意的及任意的恒成立.由于,所以,所以对任意的恒成立.设,,则,所以函数在,上单调递减,在2,上单调递增,所以2,所以2.4.【答案】【提示】如图中,同例3,易得.5.【答案】C6.【答案】C【提示】将变形为即可.7.【答案】B

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