专题34逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于f(x)、f′(x)的不等关系，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2.常见的构造函数:①对于，构造；一般的，对于，构造．②对于，构造；一般的，对于，构造．③对于，构造；一般的，对于，构造．④对于，构造；一般的，对于，构造．⑤对于，即，构造．⑥对于，构造．⑦对于，构造.⑧对于，构造.⑨对于，构造.导数构造不用慌，遇和为乘差为商，构得函数莫骄傲，弄错奇偶白求忙.【典型题示例】例1已知函数y＝f(x)对于任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是( )A.eq\r(2)f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))0，则F′(x)>0，F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增．把选项转化后可知选A.例2已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】结合已知“”及所求“”，构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集【解析】设函数，则又所以在上单调递增，又故不等式可化为由的单调性可得该不等式的解集为．故答案为：例3已知偶函数(x≠0)的导函数为，，当x＞0时，，则使成立的x的取值范围是．（其中e为自然对数的底数）【答案】【分析】利用构造函数，再使用函数的单调性、奇偶性即可.【解析】设，则∵x＞0时，∴当x＞0时，，故在（0，+∞）单增又，所以∵是偶函数∴也是偶函数，且在（－∞，0）单减等价于，即由是偶函数且在（0，+∞）单增得，解之得.例4定义在（0，+∞）上的函数f(x)对不等式2fx＜xf'x＜3fx恒成立，且fx＞0在（0，+∞）上恒成立，则下面正确的是（）A.4＜f2f1＜16；B.4＜f2f1＜8；C.3＜f2f1＜4；D.2＜f2f1＜4.【答案】B【解析】设Fx=fxx2（x∈（0，+∞）），则F’x=f’xx2−2xfxx4=f’xx−2fxx3∵2fx＜xf'x∴F’x＞0在（0，+∞）上恒成立，Fx在（0，+∞）上单增∴F2＞F1，即f44＞f11，故f2f1＞4.设Gx=fxx3（x∈（0，+∞）），则G’x=f’xx3−3x2fxx6=f’xx−3fxx4∵xf'x＜3fx∴G’x＜0在（0，+∞）上恒成立，Fx在（0，+∞）上单减∴G2＜G1，即f28＜f11，故f2f1＜8.综上得，4＜f2f1＜8.例5(多选题)定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解.【解析】由题意，构造函数，则，由可知，所以在R上单调递增，且，故，即，，A错误；由可得，故B正确；当时，，所以，，所以，，令，则，所以单调递增，，即，所以，，故C正确；由可得，故D正确；故选：BCD.例6设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f(eq\r(x＋1))>eq\r(x－1)·f(eq\r(x2－1))的解集为________．【答案】 [1,2)【解析】设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．又eq\r(x＋1)>0，∴由f(eq\r(x＋1))>eq\r(x－1)f(eq\r(x2－1))可变形得eq\r(x＋1)f(eq\r(x＋1))>eq\r(x2－1)f(eq\r(x2－1))，即F(eq\r(x＋1))>F(eq\r(x2－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)>\r(x2－1)，,x≥1，))解得1≤x<2.【巩固训练】1.（多选题）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是 A． B． C． D．2.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 A． B．，， C．，， D．，，3.设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值4.设是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.5．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（）A．B．C．D．6．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（）A．B．C．D．7．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A.B.C.D.与的大小不确定8.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______．9.已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是．10.设奇函数f(x)定义在(－，0)∪(0，)上其导函数为f(x)，且f(eq\f(,2))＝0，当0＜x＜时，f(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f(eq\f(,6))sinx的解集为．11.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为___________.12.定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是．13.已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是 A．； B．； C．； D．.14.已知定义域为的函数的导函数为，且，若（2），则函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．415.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为.16.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2020)2f(x＋2020)－4f(－2)>0的解集为________．【答案与提示】1.【答案】【分析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．【解答】令，，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即．故正确；，从而有即．故正确．故选：．2.【答案】B【解析】令，则，在时单调递增，又（1）（1），时，，时，，当时，，，，时，，，，在上恒成立，又是奇函数，，在上恒成立，①当时，，，即，②当时，，，即，由①②得不等式的解集是，，，故选：．3.【答案】C【解析】函数是定义在上的连续函数，，令，则，为常数），函数是连续函数，且在处存在导数，，，，，，，令，则，令，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，当时，，，使，又，函数在的两个零点，分别为和0，当时，令，则，当时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，在上有极小值，无极大值．故选：．4.【答案】D【解析】构造函数，于是该函数递减，变形为，于是，得，选D.5.【答案】A【解析】构造函数，当时，，即函数单调递增，则，，则，即，选A．6.【答案】A【解析】由得，构造函数，则，故单调递增，有．故选A．7.【答案】B【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.因为,所以即.答案选B．8.【答案】 (0，＋∞)【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.9.【答案】10.【答案】(－eq\f(,6)，0)∪(eq\f(,6)，)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(eq\f(f,g))＝eq\f(fg－fg,g2)，(sinx)＝cosx，于是本题的本质是构造eq\f(f(x),sinx)来解不等式【解析】设g(x)=eq\f(f(x),sinx)，则g(x)=(eq\f(f(x),sinx))＝eq\f(f(x)sinx－f(x)cosx,sin2x)，所以当0＜x＜时，g(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减又由于在(0，)上sinx＞0，考虑到sineq\f(,6)＝eq\f(1,2)，所以不等式f(x)＜2f(eq\f(,6))sinx等价于eq\f(f(x),sinx)＜eq\f(f(eq\f(,6)),sineq\f(,6))，即g(x)四则运算法则构造函数，求出的解析式.【解析】由，可得，则，即，设，，又（2），所以，所以，所以，所以，，令，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，则对于，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，当时，，当时，，所以函数的零点个数为2．故选：．点评：作为选择题，求出后，欲判断零点个数，直接分离函数转化为与交点的个数，则秒杀！15