妙解高考数学填选压轴题专题45 利用方程同解求圆的方程-妙解高考数学填选压轴题

专题45利用方程同解求圆的方程【方法点拨】当圆与另一曲线（如抛物线）有两个公共点求圆的方程时，可考虑将曲线方程分别与直线方程联立消元，根据函数与方程的关系，则两方程同解，故可利用系数成比例求解圆的方程.【典型题示例】例1（多选题）已知二次函数交轴于，两点（，不重合），交轴于点.圆过，，三点.下列说法正确的是（）①圆心在直线上；②的取值范围是；③圆半径的最小值为1；④存在定点，使得圆恒过点.A．① B．② C．③ D．④【答案】AD【解析】①因为二次函数的对称轴是，且，两点关于对称，所以圆心在直线上，故正确；②因为二次函数交轴于，两点，所以解得且，故错误；③设圆的方程为，（#）令，则则为方程的两个根∵与轴交于，两点∴为方程的两个根故方程与方程的根相同∴，，代入�）又∵在圆上∴，解得所以所求圆的方程为.即故，因为且，所以，故错误；④圆M的方程为，即，则圆恒过定点，故正确；故选：AD.例2（多选题）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（）A．且B．当时，为钝角C．圆：（且）D．圆过定点【解析】对于A，联立，消可得，二次函数与直线有两个交点，则，解得，又，故A正确；对于B，联立消可得，设，，则，，则当时，，所以为锐角，故B错误；对于C，设圆的方程为（因为圆过，故），由，消可得，故为方程的两个根由，消可得即故为方程的两个根所以与为同一方程故有，解得所以圆的方程为（且，故C正确；对于D，由C：（且），整理可得，方程过定点则，解得，所以圆过定点，故D正确；故选：ACD.【巩固训练】1.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为.2.在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为，则圆经过定点（其坐标与的无关）．3.已知圆C过点，，它与x轴的交点为，，与y轴的交点为，，且，则圆C的标准方程为___________.4.已知曲线与轴交于两点，与轴交于点，则外接圆的方程为（）A．B．C． D．【答案或提示】1.【答案】【解析】设所求圆的一般式方程为，令，得，则0,2是方程的两个根，所以，所以圆的一般方程为将代入，得，所以圆的一般方程为.2.【答案】【解析】设所求圆的一般方程为令＝0得这与是同一个方程，故D＝2，F＝．令＝0得，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为.分离参数得：（*）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得，解得经检验知，点均在圆C上，因此圆C过定点.3.【答案】【解析】设圆C的一般式方程为，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圆C过点，，所以，②，③，由①②③得，，，所以圆C的一般式方程为，标准方程为.4.【答案】A【解析】设外接圆的方程为，（#）令，则则为方程的两个根∵与轴交于两点∴为方程的两个根故方程与方程的根相同∴，，代入（#）又∵在圆上∴，解得所以所求圆的方程为.