妙解高考数学填选压轴题专题50 圆锥曲线的最值-妙解高考数学填选压轴题

专题50圆锥曲线的最值【方法点拨】综合运用函数知识、向量、基本不等式等求解圆锥曲线中的最值问题.【典型题示例】例1已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为．【答案】【分析】直接设点P的坐标，转化为的二次函数即可解决.【解析】设点P的坐标则当且仅当，即当点P的坐标时，取得最小值为.例2已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（）. B. C.4 D.6【答案】C【分析】因为，故，再使用定义将转化为到准线的距离，设出点坐标，使用基本不等式求解.【解析】因为，故设，则所以设，则当且仅当，等号成立所以的最小值是4.例3已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案【解析】设点，则，得，圆的圆心，半径为，则，令，对称轴为，所以当时，取得最小值，所以最小值为，所以的最小值为，故选：D.例4已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点P是抛物线上的动点，则当|PF||PA|的值最小时，△PAF的内切圆半径为(    )A.2−2 B.2 C.1 D.1−22【答案】A【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系．设P到准线的距离为PQ，根据抛物线的性质可知|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ.从而当∠PAQ最小，即AP与抛物线相切时，|PF||PA|的值最小．求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面积公式得出面积．【解析】抛物线的准线方程为x=−1．设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|=|PF|．∴|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ．∴当PA与抛物线y2=4x相切时，∠PAQ最小，即|PF||PA|取得最小值．设过A点的直线y=kx+k与抛物线相切(k≠0)，代入抛物线方程得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，∴Δ=(2k2−4)2−4k4=0，解得k=±1．即x2−2x+1=0，解得x=1，把x=1代入y2=4x得y=±2．∴P(1,2)或P(1,−2)．∴S△PAF=12|AF|⋅|yP|=12×2×2=2．所以AP=22,AF=2,PF=2，设△PAF的内切圆半径为r所以1222+2+2r=2，所以r=2−2．故选A．  例5已知A、B是圆C1：x2+y2=10上的动点，AB=42，P是圆C2：x−62+y−82=1上的动点，则PA+3PB的取值范围是__________.【答案】[28,52]【分析】本题的关键是将所求PA+3PB转化为一个向量，这里设PA+3PB=4PE（想一想，这里为什么将系数确定为4，而非其它数？其主要目的在于利用三点共线，使点E在线段AB上，这是遇到两向量和、差的模的常用的策略，其目的仍是化繁为简、合二为一），从而由|PA+3PB|化简得4PE，进一步可求得C1E=2，故E点的轨迹为圆，最终转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．【解析】设PA+3PB=4PE，则14PA+34PB=PE，取AB中点为D，再取BD中点为E，则由AB=42，得C1D=10−8=2，DE=2，所以C1E=2，即E点的轨迹方程为x2+y2=4．|PA+3PB|=|PA+PB+2PB|=2PD+2PB=2PD+PB=4PE．由于P点在圆 C2：x−62+y−82=1上，所以C1C2=10，所以C1C2−1−2≤PE≤C1C2+1+2，即PE∈[7,13]，所以|PA+3PB|=4PE∈[28,52].故答案为[28,52]．  【巩固训练】1.面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为．2.抛物线y2=8x的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点B(−2,0)，当|AF||AB|取得最小值时，则(    )A.AB的斜率为±23；B.|AF|=4C.ΔABF外接圆的面积为8π；D.ΔABF内切圆的面积为(24−162)π3.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若PF22PF1的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．4.过抛物线y2 = 4x焦点的直线l与抛物线交于 A ，B两点，与圆( x −1)2 + y2 = r2 交于C，D两点，若有三条直线满足AC = BD，则r的取值范围为．【答案或提示】1.【答案】－1或【提示】设点，转化为函数解决.2.【答案】BCD【分析】由题意利用抛物线的定义可得|AF||AB|=|AC||AB|=sin∠ABC，当|AF||AB|取得最小值时，AB与抛物线相切，再联立直线与抛物线方程，由此可得|AB|，|BF|，|AF|的值，即可分析各选项．【解析】由题意，过点A作准线的垂线，垂足为C，点B即为抛物线的准线与x轴的交点，由抛物线的定义可得|AF||AB|=|AC||AB|=sin∠ABC，当|AF||AB|取得最小值时，即sin∠ABC取得最小值，也即∠ABC取得最小值，此时AB与抛物线相切，设AB的方程为y=k(x+2)，则y2=8xy=k(x+2)(∗),消去y可得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0，则Δ=(4k2−8)2−4k2·4k2=0，解得k=±1，不妨设k=1，代入(∗)中解得点A的坐标为(2,4)，可得△ABF为等腰直角三角形，|AB|=[2−(−2)]2+(4−0)2=42，|BF|=|AF|=4，设△ABF外接圆的半径为R，由直角三角形的性质可知，R=22，所以ΔABF外接圆的面积为π×222=8π，设△ABF内切圆的半径为r，则12(|AB|⋅r+|AF|⋅r+|BF|⋅r)=12×4×4，解得r=1642+8=4−22，当k=−1，结果仍有r=1642+8=4−22，∴△ABF的内切圆的面积为S=π×(4−22)2=(24−162)π．故选BCD．3.【答案】1,3【分析】由双曲线的定义得PF2−PF1=2a，又PF22PF1的最小值为8，则PF22PF1=(PF1+2a)2PF1=PF1+4a2PF1+4a，再利用基本不等式即可得PF1+4a2PF1+4a⩾2PF1⋅4a2PF1+4a=8a，其中PF1=2a时等号成立，再设P(x,y)(x≤−a)，则由双曲线第二定义，PF1=−x−a2ce=−ex−a≥c−a，又2a≥c−a，e=ca≤3，又因为e>1，即可求解离心率的取值范围．【解析】因为PF2−PF1=2a，所以PF22PF1=(PF1+2a)2PF1=PF1+4a2PF1+4a≥2PF1⋅4a2PF1+4a=8a,    (∗)其中PF1=2a时等号成立．又设P(x,y)(x≤−a)，则由第二定义，得PF1=−x−a2ce=−ex−a≥c−a．要使(∗)式中等号成立，则必须2a≥c−a，所以e=ca≤3，又因为e>1，所以12时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于x=1对称的两条直线．综上，当r∈(2,+∞)时有三条满足条件的直线．故答案为(2,+∞)．