妙解高考数学填选压轴题专题59 二元权方和不等式-妙解高考数学填选压轴题

专题59二元权方和不等式【方法点拨】已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.说明:1.上式其实即为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其实质就是“1”的代换.2.设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.【典型题示例】例1（2022·江苏金陵中学·网课质检卷·13）已知，且满足，则的最小值为________．【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（取等条件略）.例2已知，，则的最小值为.【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（等号成立条件，略，下同）.例3如图，已知三角形ABC中，AB＝1，AC＝2，若点M为线段BC的三等分点(靠近B点)，则的最小值为 ． 【答案】【解析】，，.例4已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是．【答案】【解析】当，即，．例5已知x＞0，y＞0，且则的最小值是．【答案】【解析】当，即时，等号成立．例5已知x＞1，y＞1，则的最小值是．【答案】8【解析】令当，即，两个等号同时成立．例6已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是．【答案】【解析】当，即，．例7已知，且，则的最大值与最小值之和为A．B．C．D．【答案】C【分析】已知中两个式子、是“知和求和”的典型结构特征，而后者又是待求的，故可考虑换元法，设，用“1的代换”或权方和不等式，消去，化等式为不等式，从而构造出关于的一元二次不等式，求出其解集.【解析】设（）由权方和不等式得，代入已知得整理得，解之得即，当且仅当时，即或时取等号所以最大值与最小值之和为．【巩固训练】1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是．2.已知正数满足，则的最小值为.3.已知，则的最小值为.4.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是 ．【答案与提示】1.【答案】9【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴，且∴，当且仅当时取“＝”．2.【答案】【解析】当且仅当，等号成立.3.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.4.【答案】15【解析】x+y＝xy可化为，