抛物线必会十大基本题型讲与练04以抛物线为情景的最值与范围问题典例分析类型一、以抛物线为情景的点线最值问题1.抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是( )A. B. C. D.2.已知抛物线的焦点为,过点的直线交于,两点,则的中点到的准线的距离的最小值为( )A.2 B.4 C.5 D.63.已知直线和直线,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是( )A.2 B.3 C. D.4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,直线,动点M在C上运动,记点M到直线l与l′的距离分别为d1,d2,O为坐标原点,则当d1+d2最小时,cos∠MFO=( )A. B. C. D.类型二、以抛物线为情景的斜率最值问题1.已知抛物线的焦点为F,点A在抛物线上,若存在点B,满足,则OB的斜率的最大值为( ).A. B. C. D.2.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上任意一点,M是线段PF上的点,且,则直线OM的斜率的最大值为( )A.1 B. C. D.3.已知抛物线的焦点为F,抛物线上一点到F的距离为3,(1)求抛物线C的方程和点A的坐标;(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N.若,求斜率k的取值范围.类型三、有关抛物线焦点的最值问题1.已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C上,若点,则的最小值为( )A.4 B.5 C.6 D.72.(多选题)已知抛物线焦点为,点,点在抛物线上,则下列结论正确的是( )A.的最小值为3 B.的最大值为7C.的最小值为-2 D.的最大值为33.已知抛物线C:的焦点F到准线l的距离为4,过焦点F的直线与抛物线相交于,两点,则下列结论中正确的是( )A.抛物线C的准线l的方程为B.的最小值为4C.若,点Q为抛物线C上的动点,则的最小值为6D.的最小值类型四、以抛物线为情景的参数范围问题1.已知抛物线,直线,且在上恰有两个点到的距离为,则的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点,则实数p的取值范围为( )A. B. C. D.3.已知动直线l过抛物线的焦点F,且与抛物线C交于两点,且点M在x轴上方,O为坐标原点,线段的中点为G.(1)若直线的斜率为求直线l的方程;(2)设点,若恒为锐角,求的取值范围.类型五、以抛物线为情景的面积范围与最值问题1.已知抛物线的焦点为F,过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2.(1)求抛物线N的方程;(2)点和点为两定点,点A和点B为抛物线N上的两动点,线段AB的中点Q在直线OM上,求△ABC面积的最大值.2.已知抛物线C:的焦点为F,直线l:与y轴、抛物线C相交于P,A,自下而上,记△、△的面积分别为、.(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围;(2)求的取值范围.3.如图所示,已知抛物线:,过点的直线与抛物线有两个交点,若抛物线上存在不同的两点,关于直线对称,记的中点为.(1)求点的轨迹方程;(2)求的最大值.4.如图,已知椭圆和抛物线,斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点,且线段的中点在抛物线上.(1)求点的纵坐标的取值范围;(2)设是抛物线上一点,且位于椭圆的左上方,求点的横坐标的取值范围,使得的面积存在最大值.巩固练习1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A,B在抛物线C上,且满足AF⊥BF.设线段AB的中点到准线的距离为d,则的最小值为( )A. B. C. D.2.已知P为抛物线上一动点,F为E的焦点,点Q为圆上一动点,若的最小值为3,则( )A.5 B.4 C.3 D.23.已知抛物线的焦点为F,P为C上一点,点,,设取最小值和最大值时对应的点分别为,,且,则( )A.4 B.3 C.2 D.14.已知抛物线C:的焦点为F,过点F分别作两条直线,,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若与的斜率的平方和为1,则的最小值为( )A.16 B.20 C.24 D.325.已知过的直线与抛物线交于,两点,为弦的中点,为坐标原点,直线与抛物线的另一个交点为,则两点、纵坐标的比值范围是( )A. B.C. D.6.(多选题)若抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则( )A.B.准线方程为C.当时的面积为D.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是7.(多选题)设抛物线,为其焦点,为抛物线上一点,则下列结论正确的是( )A.抛物线的准线方程是B.当轴时,取最小值C.若,则的最小值为D.以线段为直径的圆与轴相切8.(多选题)已知抛物线与圆的公共点为A,B,点P为圆C的劣弧上不同于A,B的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N,则下列四个命题中正确的是( )A.B.点P纵坐标的取值范围是C.点N到圆心C距离的最小值为1D.若l不经过原点,则周长的取值范围是9.(多选题)已知抛物线的焦点为,若为抛物线上一点,直线的斜率为,且以为圆心的圆与的准线相切于点,则下列说法正确的是( )A.抛物线的准线方程为B.直线与抛物线相交所得的弦长为15C.外接圆的半径为4D.若抛物线上两点之间的距离为8,则该线段的中点到轴距离的最小值为110.(多选题)抛物线的焦点为F,P为其上一动点,设直线l与抛物线C相交于A,B两点,点下列结论正确的是( )A.|PM|+|PF|的最小值为3B.抛物线C上的动点到点的距离最小值为3C.存在直线l,使得A,B两点关于对称D.若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T,则A、B两点的纵坐标之和最小值为211.已知P为抛物线上任意一点,则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________.12.已知P为抛物线上一个动点,Q为圆上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.13.已知抛物线的方程为,圆C:,点A,B在圆C上,点P在抛物线上,且满足,则的最小值是______.14.已知,,O为坐标原点,若在抛物线上存在点N,使得,则的取值范围是___________.15.已知点在抛物线上,点在的准线上,线段的中点均在抛物线上,设直线与轴交于点,则的最小值为____________.16.在平面直角坐标系xOy中,为抛物线上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立,则实数c的取值范围为________.17.已知直线l1:x-y-5=0和直线l2:y=-4,抛物线x2=16y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______18.已知抛物线与直线相交于两点,线段中点的横坐标为5,且抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求,的值;(2)已知点为抛物线上一动点,点为轴上一点,求线段长最小值.19.已知抛物线的焦点为,直线分别与轴交于点,与抛物线交于点,且.(1)求抛物线的方程;(2)如图,设点都在抛物线上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求的最小值.20.已知点在曲线上.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过原点的直线与(1)中的曲线交于、两点,求的最大值与最小值.21.已知是抛物线上一点,是轴上的点,以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、,且当圆与轴相切时,到抛物线焦点的距离为.(1)求抛物线的标准方程;(2)设线段、长度分别为、,求的取值范围.22.如图,已知点是焦点为F的抛物线上一点,A,B是抛物线C上异于P的两点,且直线PA,PB的倾斜角互补,若直线PA的斜率为.(1)求抛物线方程;(2)证明:直线AB的斜率为定值并求出此定值;(3)令焦点F到直线AB的距离d,求的最大值.23.如图,已知椭圆,曲线与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于、,直线、分别与交于点、.(1)证明:以为直径的圆经过点;(2)记、的面积分别为、,若,求的取值范围.24.如图,已知点在半圆:上一点,过点P作抛物线C:的两条切线,切点分别为A,B,直线AP,BP,AB分别与x轴交于点M,N,T,记的面积为,的面积为.(1)若抛物线C的焦点坐标为(0,2),求p的值和抛物线C的准线方程:(2)若存在点P,使得,求p的取值范围.
抛物线必会十大基本题型专题04 以抛物线为情境的最值或范围问题(原卷版)
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