抛物线必会十大基本题型专题04 以抛物线为情境的最值或范围问题(解析版)

2023-11-14 · U1 上传 · 40页 · 2.6 M

抛物线必会十大基本题型讲与练04以抛物线为情景的最值与范围问题典例分析类型一、以抛物线为情景的点线最值问题1.抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程,再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离.【详解】因为,所以,令,得,所以与直线平行且与抛物线相切的切点,切线方程为,即,由两平行线的距离公式可得所求的最小距离.2.已知抛物线的焦点为,过点的直线交于,两点,则的中点到的准线的距离的最小值为(       )A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】设出直线的方程,联立后利用弦长公式表达出,求出长度的最小值,再利用抛物线的定义来进行转化,得到的中点到的准线的距离为的一半,进而求出点到的准线的距离的最小值.【详解】如图,分别过点,,作准线的垂线,垂足分别为,,,则设直线的方程为,,,,.联立,整理得,则,.,.3.已知直线和直线,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是(       )A.2 B.3 C. D.【答案】A【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为,准线方程为,即直线是抛物线的准线.抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和,也即是到直线与焦点的距离之和,最小值为到直线的距离,即.4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,直线,动点M在C上运动,记点M到直线l与l′的距离分别为d1,d2,O为坐标原点,则当d1+d2最小时,cos∠MFO=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义可知,d1=|MF|,设MN⊥l',垂足为N,d1+d2=|MF|+|MN|,当M、F、N三点共线时,d1+d2最小,再结合点到直线的距离公式,以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.【详解】由抛物线的定义可知,d1=|MF|,设MN⊥l',垂足为N,∴d1+d2=|MF|+|MN|,当M、F、N三点共线时,d1+d2最小,∵抛物线C:y2=4x,∴焦点F(1,0),∴|FN|=d=,设直线l'与x轴的交点为D,令y=0,得,即FD=2+1=3,在Rt△DNF中,cos∠MFO=cos∠NFD=.类型二、以抛物线为情景的斜率最值问题1.已知抛物线的焦点为F,点A在抛物线上,若存在点B,满足,则OB的斜率的最大值为(       ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点,,表示出,考虑的正负情况,结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意:,,设点,,A在抛物线上,故,,,由得,即,,当时,;当时,,当且仅当即时,等号成立,2.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上任意一点,M是线段PF上的点,且,则直线OM的斜率的最大值为(       )A.1 B. C. D.【答案】C【分析】设出,P点坐标,根据及抛物线方程,得到,从而表达出直线OM的斜率,利用基本不等式求出最大值.【详解】因为,设,显然当时,,当时,,则要想求解直线OM的斜率的最大值,此时,设,因为,所以,即,解得:,由于,所以,即,由于,则,当且仅当,即时,等号成立,故直线OM的斜率的最大值为.∴k有最大值,3.已知抛物线的焦点为F,抛物线上一点到F的距离为3,(1)求抛物线C的方程和点A的坐标;(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N.若,求斜率k的取值范围.【答案】(1),(2)【分析】(1)根据题意求出p,得抛物线方程,代入点即可得解;(2)设直线,联立抛物线方程得出根与系数的关系,得出的范围,再根据,求取值范围即可.【解析】(1)由题意知,得,所以抛物线C的方程为.将点代入,得,所以点A的坐标为.(2)直线与抛物线联立,消去y得,,解得或.设,则有,则,即,又.所以,则因为,设,则,因为,则,所以因为或,所以k的取值范围是。类型三、有关抛物线焦点的最值问题1.已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C上,若点,则的最小值为(       )A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【分析】先求出抛物线的方程,根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离,结合图象,即可求出结果.【详解】抛物线的焦点为,准线为且l过点,抛物线的准线方程是,则抛物线的方程为,因为,点在抛物线内,过点作准线的垂线,垂足是,在抛物线上,是抛物线的焦点,,当三点共线时,(图中虚线位置),取到最小值,即最小值为,2.(多选题)已知抛物线焦点为,点,点在抛物线上,则下列结论正确的是(       )A.的最小值为3 B.的最大值为7C.的最小值为-2 D.的最大值为3【答案】ACD【分析】画出图象,根据抛物线的图象可得,,当,,三点共线时即可求解.过作轴平行线,与准线交于点,与抛物线交于点,此时取最小值.【详解】如图1,点在抛物线外,,故的最小值为,A正确;如图2,只有当,,三点共线时最大,最大值为,如图3,过作轴平行线,与准线交于点,与抛物线交于点,根据抛物线定义,,此时有最小值.3.已知抛物线C:的焦点F到准线l的距离为4,过焦点F的直线与抛物线相交于,两点,则下列结论中正确的是(       )A.抛物线C的准线l的方程为B.的最小值为4C.若,点Q为抛物线C上的动点,则的最小值为6D.的最小值【答案】ACD【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得的值,进而求出抛物线的方程,可判断A正确;设直线的方程与抛物线的方程联立,求出两根之和及两根之积,由抛物线的性质可得弦长的表达式,再由参数的范围可得其最小值,判断B不正确;过作准线的垂线,垂足为,由抛物线的性质可得,可判断C正确;由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为,判断D正确.【详解】由焦点到准线的距离为4可得,所以抛物线的方程为,A中,由抛物线的方程为,所以可得准线方程为,故A正确;中,过焦点的直线为,则,整理可得,可得,,所以,时取等号,最小值为8,所以不正确;中,满足,可知点在抛物线内部,过作准线的垂线,垂足为,则,当且仅当,,三点共线时取等号,所以的最小值为6,故正确;中,由B的分析可知:由抛物线的方程可得:,所以,当且仅当时取等号,所以正确;类型四、以抛物线为情景的参数范围问题1.已知抛物线,直线,且在上恰有两个点到的距离为,则的取值范围是(       )A. B. C. D.【答案】B【分析】设与平行且与抛物线相切的直线方程,利用判别式等于零求得,再根题意得两直线间的距离,解不等式可得答案.【详解】设直线与抛物线相切,联立,得,,∵,∴,由题意得,直线与直线的距离,即,解得,∴,2.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点,则实数p的取值范围为(     )A. B. C. D.【答案】C【分析】存在关于直线对称的相异两点,第一步设出直线方程,联立方程根与系数的关系,求出中点坐标,代入抛物线方程求解即可.【详解】设抛物线上关于直线对称的两点是,设直线的方程为.将代入抛物线方程,得,则,则的中点P的坐标为.因为点P在直上,所以,即.又,将代入得,即,解得3.已知动直线l过抛物线的焦点F,且与抛物线C交于两点,且点M在x轴上方,O为坐标原点,线段的中点为G.(1)若直线的斜率为求直线l的方程;(2)设点,若恒为锐角,求的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】设出直线方程,联立抛物线方程,表达出G点坐标,由直线OG的斜率列出方程,求出直线方程;(2)将恒为锐角转化为,等价于对任意的恒成立,根据二次函数根的分布,列出不等式组,求出的取值范围.【解析】(1)由题意得,设直线的方程为,线段的中点.联立方程,整理得:,由韦达定理得:.,即.∵直线的斜率为,,解得:或,∴直线l的方程为:或.(2)为锐角,等价于.设,则,故恒成立.令,则,原式等价于对任意的恒成立,即对任意的恒成立.令.①,解得:;②,解得:.又,故.综上所述,的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中求解取值范围的题目,通常要设出直线,与圆锥曲线联立,根据两根之和与两根之积进行代入化简,最后利用基本不等式,二次函数根的分布或导函数等进行求解.类型五、以抛物线为情景的面积范围与最值问题1.已知抛物线的焦点为F,过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2.(1)求抛物线N的方程;(2)点和点为两定点,点A和点B为抛物线N上的两动点,线段AB的中点Q在直线OM上,求△ABC面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)令,可得,得到,求得,即可求得抛物线的方程;(2)设,直线AB的斜率为,得到,得到直线的方程,联立方程组得到,结合弦长公式和点到直线的距离公式,求得面积,令,得到,结合导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【解析】(1)由题意得抛物线的焦点为,在方程中,令,可得,所以弦长为,即,解得,所以抛物线C的方程为.(2)由(1)知抛物线的方程为,设,直线AB的斜率为,因为线段的中点在直线上,由可知直线OM的方程为,设,所以,所以,又,所以,即得,设直线的方程为,即,联立方程组,所以,所以,即,由根据与系数的关系得,则,又由点到直线的距离为,所以,记,因为,所以,所以,令,可得,令,可得,当时,;当时,,所以当时,取得最大值,即有最大值为.2.已知抛物线C:的焦点为F,直线l:与y轴、抛物线C相交于P,A,自下而上,记△、△的面积分别为、.(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围;(2)求的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】(1)问题需求的取值范围,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理转化为求解二次函数的值域;(2)将用A,B两点的横坐标表示,从而结合韦达定理建立函数关系式,由满足的不等关系求解.【解析】(1)联立消去y,得,设,,则,,∴;(2)由,由(1)知:,由得:,解得或,又,故,由得:,解得,∴,故的取值范围为3.如图所示,已知抛物线:,过点的直线与抛物线有两个交点,若抛物线上存在不同的两点,关于直线对称,记的中点为.(1)求点的轨迹方程;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)设直线,,,,,,将,的坐标代入抛物线方程得到,再代入直线方程化简即可;(2)联立直线的方程和抛物线方程,将在面积表示出来,再利用求解即可.【解析】(1)由题意可得直线的斜率存在且不为0,设直线,,,,,,如图,由可得:,所以,所以,代入直线方程得:,又当时,由得,在抛物线开口方向内,,点的轨迹方程为:;(2)由(1)可知直线:,由   得:,直线与抛物线交于,两点,即则,   ,,又,令, ,,由得(负根舍去),知当时,随增大而增大,当时,随增大而减小,当时,取得最大值,时,.4.如图,已知椭圆和抛物线,斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点,且线段的中点在抛物线上.(1)求点的纵坐标的取值范围;(2)设是抛物线上一点,且位于椭圆的左上方,求点的横坐标的取值范围,使得的面积存在最大值.【答案】(1);(2).【分析】(1)设直线的方程为,则,将直线的方程与椭圆的方程联立,可求得点的坐标,将点的坐标代入抛物线的方程,可得出,结合可得出的取值范围,进而可求得的取值范围,即可得解;(2)设点,计算得出的面积,令,记,则,求导,分析可知函数在内有唯一的极值点,且为极大值点,结合已知条件可得出关于的不等式组,解出的取值范围,即可得出点的横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可设直线的方程为,则,联立,可得,,可得,①设点、,由韦达定理可得,,设点,则,,将点的坐标代入抛物线的方程得,则,代入①可得,可得,解得,因此.因此,点的纵坐标的取值范围是.(2)设点,则点到直线的距离为,,故的面积,②将代入②得,令,记,则,则,因为在上单调递减,所以,函数在内有唯一的极值点,且为极大值点,所以,,可得,③,因为点在椭圆的左上方,则,④由③④可得,因此,点的横坐标的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐