三角函数与解三角形大题归类 （解析版）

三角函数与解三角形大题归类目录重难点题型归纳1【题型一】恒等变形1【题型二】零点与对称性4【题型三】恒成立求参6【题型四】图像与解析式型9【题型五】利用正弦定理求角12【题型六】利用余弦定理求角型14【题型七】最值1：面积最值型16【题型八】最值2：锐钝角限制型最值18【题型九】最值3：周长最值型20【题型十】最值3：比值最值型22【题型十一】最值4：系数不一致型23【题型十二】最值5：角非对边型26【题型十三】最值6：四边形面积型28【题型十四】图形1：外接圆型29【题型十五】图形2：角平分线型32【题型十六】图形3：中线型34【题型十七】图形4：三角形高型37【题型十八】图形5：双三角形型40好题演练42一、重难点题型归纳重难点题型归纳题型一恒等变形【典例分析】1.已知函数fx=2cosxsinx-cosx+1,x∈R．(1)求函数fx的单调递增区间；π(2)将函数y=fx的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐4标不变，得到函数y=gx的图象，求gx的最大值及取得最大值时的x的集合．π3ππ【答案】(1)kπ-，kπ+(k∈Z)；(2)xx=2kπ+(k∈Z)，g(x)的最大值为2.884【详解】π(1)先化简f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin2x-，4πππ再由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z2421π3π即得f(x)递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).88π(2)由已知g(x)=2sinx+4π解：(1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin2x-，4ππππ3π当2kπ-≤2x-≤2kπ+,(k∈Z)，即kπ-≤x≤kπ+,(k∈Z)，24288π3π因此，函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).88π(2)由已知，g(x)=2sinx+，4ππππ∴当4sinx+=1时，即x+=2kπ+则x=2kπ+(k∈Z)，g(x)=24424maxπ∴当x∣x=2kπ+(k∈Z),g(x)的最大值为2.4【技法指引】和差倍角关系①cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ；②sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；③tanα±tanβ④tan(α±β)=±1tanαtanβ；sin2α=2sinαcosα；⑤cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1；⑥tan2α=2tanα；1-tan2α辅助角公式：22bπasinx+bcosx=a+bsin(x+φ)，其中，tanφ=a，|φ|<2，a>0．【变式演练】321.设函数f(x)=-3sinωx-sinωxcosωx(ω>0)，且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近2的对称轴的距离为π，4(Ⅰ)求ω的值；3π(Ⅱ)求f(x)在区间π,上的最大值和最小值.23【答案】(Ⅰ)ω=1(Ⅱ)，-1.2【详解】试题分析：(1)本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把sin2ωx化为一次形式，但角变为π2ωx，再运用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知4π此函数的周期为，从而利用周期公式易求出ω；(2)本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因423π此用换元法只需令ωx+φ=u，利用π≤x≤求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的2最值.3231-cos2ωx1试题解析：(1)f(x)=-3sinωx-sinωxcosωx=-3-sin2ωx=222231ππcos2ωx-sin2ωx=-sin2ωx-．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又22342ππω>0，所以=4×，因此ω=1.2ω4π3π5ππ8π3(2)由(1)知f(x)=-sin2ωx-．当π≤x≤时，≤2x-≤所以-≤323332π33π-sin2ωx-≤1，因此-1≤f(x)≤．故f(x)在区间π,上的最大值和最小值分别为3223,-1．2题型二零点与对称性【典例分析】ππ2π1.已知函数fx=2sinx-sinx++23cosx--3.363(1)求函数fx的单调递增区间；7π(2)若函数gx=f2x-a在区间0,上恰有3个零点x,x,xx