抛物线必会十大基本题型讲与练06以抛物线为情景的定值问题典例分析类型一、有关斜率的定值问题1.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于、两点,,记直线、的斜率分别为、,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知直线的斜率存在,设直线的方程为,设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,利用斜率公式结合韦达定理可求得的值.【详解】已知抛物线的焦点为,若直线的斜率不存在,则直线与抛物线只有一个公共点,不合乎题意.所以,直线的斜率存在,设直线的方程为,设点、,由以及直线的斜率存在可知,,联立可得,,由韦达定理可得,,所以,.2.已知抛物线,过点作两条斜率为,的直线与抛物线的准线分别相交于点,.分别过,作的垂线交抛物线于点,,当时,则点到直线的距离的最大值是( )A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,,直线,与抛物线联立,得到韦达定理,由求得a的值.则直线过定点,则到直线的最大距离即MN.【详解】设,,直线,由,得.则.,∴,得.∴直线过定点,则到直线的距离.当,即,或,时取等号.3.在平面直角坐标系中,已知抛物线:和点.点在上,且.(1)求的方程;(2)若过点作两条直线,,与相交于,两点,与相交于,两点线段,中点的连线的斜率为,直线,,,的斜率分别为,,,为定值.证明:,且为定值.【答案】(1);(2)证明见解析【分析】(1)由已知,根据点坐标,借助可表示出点坐标,然后带入抛物线方程,即可完成方程的求解;(2)由已知,分别设出,,,四点坐标,然后利用坐标分别表示出和的方程,然后将点代入方程,从而得到等量关系,然后代入到斜率的表达式中即可证明.【解析】(1)由已知,,,则,代入抛物线可得:.(2)设,,,,则:,整理得,代入,可知,则同理可得,,则设,的中点分别为,,则,则则4.已知抛物线的焦点为F,过点的直线与E交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点O.(1)求E的方程;(2)连接AF,BF,分别延长交E于C,D两点,问是否为定值,若是求出该定值;若不是说明理由.【答案】(1)(2)是定值,【分析】(1)根据题意,设直线方程为,联立方程组,得出,,因为以AB为直径的圆过原点O,所以OA⊥OB,所以,即可求出的值,进而求出E的方程;(2)再次联立方程组,表示出和,由(1)知,代入可求得为定值.【解析】(1)由题知,直线l的斜率不为0,可设其方程为,,,联立,得,所以,,因为以AB为直径的圆过原点O,所以OA⊥OB,即,所以,即,将代入,解得.所以E的方程为;(2)设,,直线AF的方程为,联立,得,所以,即,同理,即,,同理,由(1)知,所以.类型二、有关线段长度的定值问题1.已知曲线C:y2=2px(p>0),过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于点P,可证明是一个定值m,则m=( )A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】设直线MN的方程,与抛物线联立切线两根之和,进而求出MN的中点Q的坐标,再由抛物线的性质可得弦长|MN|的值,及|QF|的值,在△QFP中,求出|PF|的值,求出是一个定值,求出定值m.【详解】由抛物线的方程可得焦点F(,0),准线的方程为:x,由题意可得直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为:x=ty,设t>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),联立,整理可得:,所以y1+y2=2pt,x1+x2=t(t1+y2)+p=2pt2+p,所以MN的中点Q(pt2,pt),由抛物线的性质可得|MN|=x1+x2+p=2pt2+2p=2p(1+t2),|QF|pt,由直线MN的方程可得tan∠QFP,所以cos∠QFP,由题意在Rt△QFP中,|PF|p(1+t2),所以为定值,所以m的值为,2.已知抛物线,圆,直线自上而下顺次与上述两曲线交于,,,四点,则下列各式结果为定值的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】如图,设四点横坐标为,根据题意和抛物线的定义可得、,联立直线方程和抛物线方程,消y得出关于x的一元二次方程,结合韦达定理可得,进而得出结果.【详解】如图,分别设四点横坐标为,由得焦点,准线,由定义得,,又,所以,同理:由消去y整理得,设,则,即.3.已知抛物线,过定点的直线与抛物线交于两点,若常数,则常数的值是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】设直线的标准参数方程(为参数,是直线的倾斜角),代入抛物线方程应用韦达定理,利用计算可求解.【详解】设直线的方程为(为参数,是直线的倾斜角),代入抛物线方程得,,,,,此值与的取值无关,则,即.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题的定值问题.解题关键是利用直线的参数方程,利用参数的几何意义求解.即设直线的方程为(为参数,是直线的倾斜角),代入抛物线方程后应用韦达定理得,而,由此易计算.4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于( )A.-4 B.4 C.p2 D.-p2【答案】A【解析】按照焦点弦AB是否与x轴垂直分类,设直线方程,结合韦达定理即可得解.【详解】①若焦点弦AB⊥x轴,则,则;②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设,联立得,,则;又,∴,又,,.类型二、有关线段长度的定值问题1.(多选题)已知抛物线C:,过焦点F的直线交抛物线C于两点,直线,分别于直线m:相交于两点则下列说法正确的是( )A.焦点F的坐标为B.C.的最小值为4D.与的面积之比为定值【答案】BCD【解析】【分析】A选项,根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可;B选项设出直线,联立抛物线,根据韦达定理得到;C选项,根据抛物线的性质得到,进而求出的最小值;D选项,利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值.【详解】由题意知抛物线方程为,其焦点坐标为,故A错误;显然直线AB的斜率存在,设斜率为k,则直线AB的方程为,联立,消去x得到,,,,故B正确;由抛物线性质知,则,当且仅当时,取得最小值为4,故C正确;显然,(定值),故D正确.2.如图,已知抛物线上有一动点,M为y轴上的动点,设,连接与交于点B,过B作的切线交的延长线于点H,连接交C于点E,连接交y轴于点G,分别记的面积为.(1)若,求p;(2)若,求证:是之间的一个定值(不必求出定值).【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据且,利用抛物线的定义,列出方程,即可求解;(2)设,由,则,联立方程组分别求得,,,根据M,E,H三点共线,化简得到,令,化简可得,令,结合导数求得函数的单调性,即可求解.【解析】(1)由题意,抛物线,上有一动点,且,因为且,根据抛物线的定义,可得,解得.(2)设,因为,则,直线与抛物线联立得,可得,由,得,直线与方程,可得,可得,直线与抛物线联立得:,可得,由,得因为M,E,H三点共线,可得,即,即,即,令,化简可得,令,可得,当时,,所以在单调递增,又因为,,所以,所以.巩固练习1.已知、、是抛物线上三个不同的点,且抛物线的焦点是的重心,若直线、、的斜率存在且分别为、、,则( )A.3 B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】本题可设、,则、,然后两式相减,得出,再然后设,通过相同的方式得出,,最后通过焦点是的重心得出,即可得出结果.【详解】设,,则,,两式相减,得,则,设,同理可得,,因为焦点是的重心,所以,则,【点睛】三角形背景下的圆锥曲线问题是圆锥曲线的一类特色,近几年高考也经常会考到,解决此类问题通常会用到设而不求思想,如本题设出点、、的坐标后,直接使用三角形的重心坐标公式求解.2.已知抛物线的焦点为,过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点,为轴上一点,满足,则( )A.为定值 B.为定值C.不是定值,最大值为 D.不是定值,最小值为【答案】A【解析】【分析】根据题意,设直线的方程为,设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出,求出点的坐标,可求得,即可计算出的值.【详解】若直线与轴重合,此时,直线与抛物线只有一个交点,不合乎题意;由题意,,设直线的方程为,设点、,联立可得,,由韦达定理可得,则,所以,,线段的中点为,所以,直线的方程为,在直线的方程中,令,可得,即点,所以,因此,.3.(多选题)已知为抛物线的焦点,过直线上一动点作的两条切线,切点分别为、,则下列恒为定值的是( )A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意,得切线与切线垂直,,三点共线,再结合抛物线的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】根据题意,得为抛物线的准线,焦点为,设,所以,设过点与曲线相切的直线方程为:,,即,所以联立方程得,所以,由直线与曲线的相切关系得,整理得,即设切线的斜率为,切线的斜率为,则,所以切线与切线垂直,再将代入整理得,解得,再将,代入得,所以,所以,,所以,因为,,所以三点共线.所以,如图,为直角三角形,为边上的高,故对于A选项,由等面积法得,即,由于点为动点,故不为定值,错误;对于B选项,由过焦点的弦的性质,,是定值,正确;对于C选项,由于切线与切线垂直,故,是定值,正确;对于D选项,由题知,∽,所以,所以,是定值,正确.【点睛】本题考查抛物线过焦点的弦的性质,考查运算求解能力,逻辑推理能力,是难题.本题解题的关键在于证明切线与切线垂直,且三点共线.,进而结合抛物线的性质求解.4.(多选题)已知直线与抛物线交于,两点,为坐标原点,直线,的斜率分别记为,,则( )A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值【答案】ABD【解析】【分析】直线与抛物线方程联立可得韦达定理的形式,利用韦达定理依次验证四个选项即可得结果.【详解】由得:,则;对于A,为定值,A正确;对于B,,B正确;对于C,,不为定值,C错误;对于D,,则为定值,D正确.5.(多选题)已知点,是抛物线上的两个不同的点,为坐标原点,焦点为,则( )A.焦点的坐标为 B.若,则过定点C.若直线过点,则 D.若直线过点,则的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标,即可判断A;设直线,联立直线与抛物线方程,消元列出韦达定理,由,即可求出,即可判断B;设直线,代入抛物线方程,消元列出韦达定理,即可判断C、D;【详解】对于A,由题意,所以焦点,故A错误;对于B,若直线的斜率,显然不合题意;设直线,代入,得,则,,所以,所以,所以,所以直线过定点,故B正确;对于C,由直线过点,可设直线,代入,得,则,,所以,故C正确;对于D,由C可知,,,所以,所以当时,的最小值为16,故D正确,6.(多选题)已知斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线C交,两点,则以下结论正确的是( )A.若,则MN的中点到y轴的距离为6B.对任意实数k,为定值C.存在实数k,使得成立D.若,则【答案】BD【解析】【分析】写出直线的方程并与抛物线方程联立,化简写出根与系数关系,结合弦长公式对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】抛物线的焦点,则直线的方程为,,由消去并化简得,所以,,B选项正确.所以.当时,,此时的中点到轴的距离为,A选项错误.当时,即,此方程无解,所以C选项错误.当时,,由于,所以.则,当时,,当时,,所以当时,,D选项正确.7.(多选题)已知抛物线,过焦点F作一直线l交抛物线于,两点,以下结论正确的有( )A.没有最大值也没有最小值 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】可设直线AB的方程为,将其与抛物线的方程联立,得到关于y的一元二次方程,得到,判断出C选项,由抛物线的定义知,,,求出,判断出B选项,由基本不等式判断出A选项,表达出,代入两根之和,两根之积即可.【详解】由题意知,,直线AB的斜率不可能为0,故可设其方程为,联立,消去x,得,,,即选项C正确;由抛物线的定义知,,,所以,即选项B正确;∵,∴,∴,∴有
抛物线必会十大基本题型专题06以抛物线为情境的定值问题—抛物线必会十大基本题型讲与练(解析版)
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