抛物线必会十大基本题型专题05以抛物线为情境的面积问题——双抛物线必会十大基本题型讲与练（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练05以抛物线为情景的面积问题典例分析类型一、以抛物线为情景的四边形面积问题1．过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标．【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，，此时取得最小值，四边形的面积为，所以.2．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________.【答案】【解析】求得圆心与半径，求得，根据两点之间的距离公式，求得，根据二次函数的最值即可求得的最小值，即可求得，即可求得四边形面积的最小值．【详解】圆的标准方程，则圆心为，半径为，设，，，所以，，所以四边形面积的最小值，故四边形面积的最小值，【点睛】本题考查抛物线的方程，两点之间的距离公式及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．3．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．（1）求抛物线的方程；（2）求矩形的面积．【答案】（1）（2）8【分析】（1）根据抛物线的焦点是，由求解；（2）设，，根据四边形是矩形，可得，且，进而得到，然后结合抛物线的定义，求解.【解析】（1）因为抛物线的焦点是，所以，解得，所以抛物线的方程为；（2）设，，因为四边形FAPB是矩形，所以，且，即，，且．所以，，且．所以．解得，，由抛物线的定义得：，所以矩形的面积为：，．所以矩形的面积为8．类型二、以抛物线为情景的三角形面积问题1．已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为.(1)求实数p的值；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得到关于的方程，解方程可得的值；（2）设直线的方程为，，与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于的方程，解方程即可确定直线方程，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后利用面积公式计算可得．【解析】(1)由准线方程为知，，故.(2)由（1）知，抛物线方程为，设直线的方程为，，联立抛物线方程，化简得.则，由线段的中点为，知，，代入韦达定理知，，解得，故直线的方程为.所以，因此的面积.2．已知抛物线C：（p>0），过C的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，当⊥x轴时，|AB|=4.(1)求抛物线C的方程；(2)如图，过点F的另一条直线与C交于M、N两点，设，的斜率分别为，，若（），且，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据条件先得到直线轴时的直线方程，进而结合抛物线的方程并根据|AB|=4求得答案；（2）根据题意可以判断出以A与N关于x轴对称，M与B关于x轴对称，进而将条件化简为，由此可知2|AF|=|BF|，然后通过抛物线的定义并结合根与系数的关系得到答案.【解析】(1)根据题意可得，当轴时，直线的方程为，联立，解得，所以|AB|=2p=4，解得p=2，则抛物线的方程为.(2)由（1），抛物线的准线方程为，设，因为，所以A与N关于x轴对称，M与B关于x轴对称，则由可以得到，那么2|AF|=|BF|，由抛物线定义可得，于是…①.设，代入抛物线方程化简得，，，由①③得（负值舍去），代入②得，而，则.于是直线的方程为.【点睛】本题在解析几何中非常典型，破解点在于根据斜率关系得到点的对称性，进而结合条件得到，于是有2|AF|=|BF|，马上会想到根据抛物线的定义有，由此便会想到应该将直线方程代入抛物线方程然后通过根与系数的关系解决.3．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.（1）求抛物线的方程；（2）求的值；（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题意得到，从而得到抛物线：.（2）首先设直线的方程为，与抛物线联立得，再利用韦达定理求解.（3）设，，，，再利用韦达定理和求解即可.【解析】（1）因为抛物线：，焦点，所以，解得，所以抛物线：.（2）设直线的方程为，与抛物线联立得：，由韦达定理得，，所以，所以（3）设，，，，因为，所以直线：，即。同理：直线：。联立，解得。设直线的方程为：，，，联立。因为，解得，，，因为，所以，化简得：。所以。因为，，所以。类型三、抛物线与椭圆交汇的面积问题1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）椭圆的方程，抛物线的方程为（2）存在直线l，方程为或者．【分析】（1）由焦点三角形周长，通径和椭圆的关系式可求，进而求解，；（2）设l的方程为，设、、、，联立直线与抛物线方程，得出关于的韦达定理，再通过直线方程联立椭圆方程求出，结合正弦面积公式进一步化简即可求解.【解析】（1）由题意得，解得，，所以椭圆的方程，抛物线的方程为；（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，设、、、，由，得，∵，∴，∵，∴直线的斜率为，即直线的方程为，由，得，同理可得，，∴，得，所以存在直线l，方程为或者．2．已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；最小值为64，此时直线l的方程为【分析】（1）先求出椭圆的焦点，从而可求得的值，求出，进而可得抛物线的方程，（2）由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标，则利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值【解析】(1)由椭圆，知．又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．所以，则．所以抛物线的方程为．(2)由抛物线方程知，焦点．易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．由消去y并整理，得．．设，，则，．对求导，得，∴直线AP的斜率，则直线AP的方程为，即．同理得直线BP的方程为．设点，联立直线AP与BP的方程，即．，点P到直线AB的距离，所以的面积，当且仅当时等号成立．所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．类型四、抛物线与圆交汇的面积问题1．已知焦点为的抛物线：，圆：，直线与抛物线相切于点，与圆相切于点．（1）当直线的方程为时，求抛物线C1的方程；（2）记分别为的面积，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）设点，代入直线得一方程，再根据抛物线再点出切线的斜率又得一方程，解方程组即可求解；（2）先求出，，则可表示为关于的函数，根据函数的结构特点利用基本不等式即可求解【解析】（1）设点，由得，，则，因为直线的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为；（2）因为点处的切线方程为：，即，根据切线与圆相切，得，即，化简得，由，解得，所以，点到切线的距离是，所以，，而由知，，得，所以，当且仅当，即时取等，此时，所以的最小值为。2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求△PAB的面积得最大值．【答案】(1)y2＝4x，x(2)8【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求出抛物线C的方程，可求出抛物线C的准线方程；（2）设P（x0，y0），切线方程为x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分别为，，联立切线方程和抛物线方程，得到直线AB的方程，联立直线AB与抛物线方程，求出|AB|以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可得△PAB的面积的最大值；【解析】(1)因为抛物线C经过点，所以，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，所以准线方程为x；(2)设P（x0，y0），切线方程为x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分别为，，由，得y2﹣4my+4my0﹣4x0＝0，令Δ＝0，得m2﹣y0m+x0＝0，由韦达定理可得m1+m2＝y0，m1m2＝x0，且yA＝2m1，yB＝2m2，所以A（m12，2m1），B（m22，2m2），于是kAB，所以直线AB的方程为（x﹣m12）＝y﹣2m1，即2x﹣（m1+m2）y+2m1m2＝0，所以点P到直线AB的距离为d，|AB||m1﹣m2|，所以S△PAB|AB|•d|m1﹣m2||2x0﹣（m1+m2）y0+2m1m2||2x0﹣y02+2x0||4x0﹣y02|8（﹣2≤x0≤0）．所以△PAB的面积得最大值为8．类型五、抛物线与双曲线交汇的面积问题1．已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．(1)求抛物线C2的方程；(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．【答案】(1)；(2)16.【分析】（1）由题设有直线l为，联立抛物线求相交弦长有，即可写出抛物线方程.（2）由题意，可设直线AB为且，联立抛物线应用韦达定理求、坐标，再由两点距离公式求、，进而得到关于k的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.【解析】(1)由题意，双曲线实轴长，直线l方程为，由，得，则过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2的弦长为2p，所以，故抛物线的方程为.(2)因为，若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；所以，直线AB，CD的斜率均存在且不为0，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为联立，得，则，设，则．设，则，则即，同理得，故，，又，所以当且仅当，即时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16．巩固练习1．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（       ）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】【分析】设点P的横坐标为m，由抛物线的定义可得，由题意可得当m=2时满足三角形的面积最大，从而确定点P的坐标.【详解】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.该抛物线的准线方程为，设点P的横坐标为m，则，可得到，当△POF面积取得最大值时，相应的点P的横坐标m=2，故相应的点P的坐标为或.2．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若，，垂足为M，则面积的最大值为（       ）A．6 B．3 C． D．【答案】D【解析】【分析】设直线OA的方程为，求出点的坐标，求出直线AB的方程和经过的定点，求出点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O，D），即得解.【详解】由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设直线OA的方程为，与抛物线方程联立，得，因为，所以直线OB的方程为，与抛物线方程联立，得，当时，易知轴，不符合题意；当时，，所以直线AB的方程为，所以直线AB过定点，因为，所以点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O，D），所以点M到x轴距离的最大值为3，此时的面积最大，又，则面积的最大值为.3．设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（       ）A．