抛物线必会十大基本题型专题02 抛物线的中点弦问题（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练02抛物线的中点弦问题典例分析类型一、求中点弦的弦长1．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（       ）A．12 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；【详解】由条件得，设，，直线的方程为：，联立得，∴，由得.∴，所以.2．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（       ）A． B．4 C．8 D．24【答案】C【分析】点差法求得，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得.【详解】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以.3．已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（       ）A．4 B．5C． D．【答案】C【分析】设，点差法可得，得到直线AB的方程为，与抛物线联立，利用弦长公式即得解【详解】由题意，设线段AB的中点为M(1，1)，故，且两式相减得：，故，故直线AB的方程为：，即将直线与抛物线联立：，即，则类型二、求弦中点的坐标1．经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于､两点.若，则线段的中点的纵坐标为（       ）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】利用抛物线焦点弦的性质即可【详解】由题可得抛物线标准方程为，设，因为直线过抛物线焦点，所以，所以，中点，所以中点纵坐标为3，2．已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在、两点关于直线对称，设弦的中点为，为坐标原点，则的值为__________．【答案】【分析】根据抛物线的准线方程为，求得抛物线的方程为，再利用点差法结合A、两点关于直线对称，求得AB的中点坐标求解.【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，AB的中点坐标为，则，两式相减得，所以，因为、两点关于直线对称，所以，解得，即，所以，3．若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.【答案】【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.【详解】设点、的坐标分别是、，则，，两式相减得，因，即有，设直线的斜率是，弦的中点是，则，从而的垂直平分线的方程为，又点在直线上，所以，而，解得，弦中点的横坐标为2.4．已知直线l的抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点．(1)若直线AB的斜率为1，求点M的横坐标；(2)若，求点M纵坐标的最小值．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）设，代入抛物线的方程中作差可得答案.（2）设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，根据弦长公式求得，再由中点坐标公式和基本不等式可求得答案.【解析】(1)设，则，所以，即，又直线AB的斜率为1，所以，所以线段AB的中点M的横坐标为2；(2)设直线AB的方程为，与抛物线联立整理得，则，所以，又，所以，整理得，解得，设线段AB的中点M的坐标为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以点M纵坐标的最小值为3．类型三、求中点弦所在直线的斜率1．已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（       ）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根据点差法和中点坐标公式即可求出；【详解】设，，，，由，，相减可得，，，2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，设点、、，联立可得，，，所以，，，，直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，，因为，则，因为，解得，因此，直线的斜率为.3．直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（       ）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理，根据中点坐标公式，可得结果.【详解】设，由，消去y得，由题意得，∴，.4．已知抛物线E：y2＝8x．(1)求抛物线的焦点及准线方程；(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程．【答案】(1)焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2；(2)y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；(3)4x-3y+1＝0.【分析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；（3）利用点差法求出直线l2的斜率，即可得直线l2的方程．【详解】(1)由题意，p＝4，则焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2．(2)当直线l1的斜率为0时，y＝1；当直线l1的斜率不为0时，设直线l1为x+1＝m(y-1)，联立，得y2-8my+8m+8＝0，因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直线l1的方程为x-y+2＝0或2x+y+1＝0，综上，直线l1为y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0．(3)由题意，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则8x1，8x2，两式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直线l2为y-3(x-2)，即4x-3y+1＝0．巩固练习1．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（       ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段的中点到准线的距离，再减去准线到轴的距离，即可得到结果【详解】由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则，由抛物线定义易得，，，又准线为，，故线段的中点到y轴的距离，2．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设直线方程为，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.【详解】设直线方程为，，，联立方程组，整理得，因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），所以，可得，则．3．定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为（       ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用抛物线的定义结合梯形中位线公式得到M到y轴距离，当三点共线时即得到M到y轴距离的最小值．【详解】抛物线的焦点为F，则抛物线的准线，设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.所求的距离因为抛物线的通径为,所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,此时三点共线，，，则点M到y轴的最短距离为2，4．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.【详解】根据题意，设，所以①，②，所以，①②得：，即，因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，所以，即，所以抛物线，准线方程为.5．（多选题）已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（       ）A． B．C． D．点在以为直径的圆内【答案】AB【解析】【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得，知A正确；将中点坐标代入直线方程即可求得，知B正确；根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；根据长度关系可确定，由此可确定D错误.【详解】对于A，设，，由得：，，又线段的中点为，，解得：，A正确；对于B，在直线上，，B正确；对于C，过点，为抛物线的焦点，，C错误；对于D，设，则，又，，，在以为直径的圆上，D错误.6．（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（ ）A．线段长度的最小值为4 B．为锐角C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的性质判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线AB和点A、B的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；结合C选项可判断D.【详解】由题意知，抛物线C的方程为，线段长度的最小值为通径，A正确；，轴，∴，同理，∴，B错误；设直线，联立抛物线并整理，得，设，，则，，∵，∴，A，O，三点共线，C正确；设的中点，则，，取时，，D正确；7．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．【答案】【分析】设、，利用点差法可得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.【详解】设，，则，，两式相减得，即，因为、两点在斜率为的直线上，所以，所以由得，因为线段中点的纵坐标为，所以，则，，所以F到C的准线的距离为.8．已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为_________.【答案】【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．【详解】设又，因为，所以，又，则，得则直线的斜率为，故直线的方程为，化简为．联立，可得,，直线与抛物线有两个交点，成立9．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.【答案】5【解析】【分析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果．【详解】抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，，，，的中点为，，则，，两式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，10．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.【答案】【解析】【分析】设、中点，分析可得直线过定点，即，点差法可得，代入可得，与抛物线联立可得的范围【详解】设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）得：，.   于是，即.又弦中点轨迹在已知抛物线内，联立,故弦的中点轨迹方程是11．直线与抛物线交于，两点，若线段被点平分，则抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】【分析】设，，由点差法建立关系式，可求出，即可求解【详解】设，，由线段被点平分，可知，又，，所以，由题意可知，直线的斜率存在，且为1，所以，所以，即，所以.故抛物线的准线方程为.12．已知抛物线经过点，直线经过点且与抛物线交于，两点．若线段的中点为，为抛物线的焦点，则的周长为______．【答案】【解析】【分析】待定系数法得，再根据中点弦点差法得直线的斜率，再将直线与抛物线联立方程，利用焦半径公式得，利用弦长公式得，进而得答案.【详解】把点代入中得，故抛物线的方程为．设，，由题意可知直线的斜率存在且不为0，故．则，，两式相减得，又因为的中点为，所以，将代入上式得直线的斜率，于是直线的方程为，即．联立消去得，，由根与系数的关系得，，由抛物线的定义得，而，因此的周长为．13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6．(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程；（2）联立直线方程与抛物线