抛物线必会十大基本题型专题01抛物线标准方程(解析版)

2023-11-14 · U1 上传 · 19页 · 1.2 M

抛物线必会十大基本题型讲与练01抛物线的标准方程典例分析类型一、待定系数法第一步,做判断,根据条件判断抛物线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能,(这时需要分类讨论)。第二步,设方程,根据上述判断,设方程为或。第三步,找关系,根据已知条件,建立关于的方程,第四步,解方程,由上一步所得方程组求得出,将解代入所设方程,即得所求。1.已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线上且(0为坐标原点),过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N,若,则抛物线的方程为(       )A. B. C. D.【答案】C【分析】由求出点的坐标,进一步求出直线的方程,令,可求出点的坐标,得出,即可求出抛物线的方程.【详解】由题意,,不妨设,则,化简为所以,则直线的斜率为:,所以所在直线方程为:,令得.则,所以所以抛物线的方程为.2.以轴为对称轴,抛物线通径的长为8,顶点在坐标原点的抛物线的方程是(       )A. B.C.或 D.或【答案】C【分析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上,两种情况讨论设出方程,根据,即可求解.【详解】由题意,抛物线的顶点在原点,以轴为对称轴,且通经长为8,当抛物线的焦点在轴的正半轴上时,设抛物线的方程为,可得,解得,所以抛物线方程为;当抛物线的焦点在轴的负半轴上时,设抛物线的方程为,可得,解得,所以抛物线方程为,所以所求抛物线的方程为.3.(多选题)设抛物线C:的焦点为F,点M在C上,,若以MF为直径的圆过点,则抛物线C的方程为(       )A. B. C. D.【答案】AC【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标,将点坐标代入抛物线方程,求得,由此求得抛物线的方程.【详解】因为抛物线C的方程为,所以焦点,设,由抛物线的性质知,得.因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为,由已知得圆的半径也为,故该圆与y轴相切于点,故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即,代入抛物线方程,得,解得或.所以抛物线C的方程为或.4.已知抛物线的焦点为,点为上一点,点为轴上一点,若是边长为2的正三角形,则抛物线的方程为___________.【答案】或【分析】由题意分情况可得点的坐标为,代入抛物线方程中可求出的值,从而可得抛物线的方程【详解】抛物线的焦点为,由抛物线的对称性,不妨设点为第一象限的点,因为点为上一点,点为轴上一点,是边长为2的正三角形,所以当在的右边时,点的坐标为,所以,化简得,解得或(舍去),所以抛物线的方程为,当在的左边时,点的坐标为,所以,化简得,解得或,所以抛物线的方程为,综上,所求的抛物线方程为或5.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点;(2)焦点在直线上.【答案】(1)抛物线方程或,对应的准线方程分别是,.(2)抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.【分析】(1)设所求的抛物线方程为或,把点代入即可求得,则抛物线方程可得,根据抛物线的性质求得准线方程.(2)令,代入直线方程分别求得抛物线的焦点,进而分别求得,则抛物线的方程可得.根据抛物线的性质求得准线方程.【解析】(1)设所求的抛物线方程为或,因为过点,所以或,所以或.所以所求的抛物线方程为或,对应的准线方程分别是或.(2)令得,令得,所以抛物线的焦点为或.当焦点为时,,所以,此时抛物线方程;焦点为时,,所以,此时抛物线方程为.所以所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.类型二、定义法1.已知点到点的距离比它到直线的距离小,则点的轨迹方程为(       )A. B.C. D.【答案】B【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,进而可求得点的轨迹方程.【详解】由题意,点到点的距离等于它到直线的距离,则点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,则点的轨迹方程为,故选:B.2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为(       )A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y2=x【答案】B【分析】分别过A,B作准线的垂线,交准线于E,D,设|BF|=a,运用抛物线的定义和直角三角形的性质,求得p,可得所求抛物线的方程.【详解】如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由抛物线定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因为|AE|=|AF|=6,|AC|=6+3a,2|AE|=|AC|,所以6+3a=12,从而得a=2,|FC|=3a=6,所以p=|FG|=|FC|=3,因此抛物线方程为y2=6x.3.已知点,抛物线的焦点为,准线为,线段交抛物线于点,过点作准线的垂线,垂足为.若,则抛物线C的标准方程为___________.【答案】【分析】由抛物线的定义,结合,得到点为线段的中点,从而求得点B的坐标,然后由点B在抛物线上求解即可.【详解】由抛物线的定义可得,,又,所以点为线段的中点,又因为点,所以,又点B在抛物线上,所以,解得,所以抛物线C的标准方程为.4.如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、,交其准线于点,若,且,则此抛物线的准线方程为________【答案】【解析】【分析】设点在轴下方,设点、、,由已知可得出,求出点的坐标,设直线的方程为,与抛物线的方程联立,结合韦达定理求出点的坐标,利用抛物线的定义可求得的值,即可得解.【详解】设点在轴下方,设点、、,易知点,由已知可得,即,所以,解得,即点将点的坐标代入抛物线的方程可得,则,即点,设直线的方程为,联立,可得,,由韦达定理可得,则,所以,,所以,,因此,该抛物线的准线方程为。类型三抛物线方程的应用1.如图是抛物线形拱桥,当水面在n时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为(       )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题建立平面直角坐标系,设抛物线方程为,结合条件即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系:设抛物线方程为,由题意知:在抛物线上,即,解得:,,当水位下降1米后,即将代入,即,解得:,∴水面宽为米.2.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示).已知接收天线的口径(直径)为3.6m,深度为0.6m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为(       )A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【分析】根据题意先建立恰当的坐标系,可设出抛物线方程,利用已知条件得出点在抛物线上,代入方程求得p值,进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示,在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点O重合,焦点F在x轴上.设抛物线的标准方程为,由已知条件可得,点在抛物线上,所以,解得,因此,该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m,3.有一座抛物线型拱桥,其水面宽AB为18米,拱顶O离水面AB的距离OM为8米,货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF,如图建立平面直角坐标系.(1)求此抛物线的解析式;(2)如果限定矩形的长CD为9米,那么矩形的高DE不能超过多少米,才能使船通过拱桥.(3)若设EF=a,请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示,并指出a的取值范围.【答案】(1);(2)6米;(3)【分析】(1)根据题意设抛物线的解析式为.利用待定系数法,把已知坐标代入解析式求得抛物线的解析式.(2)已知CD=9,把已知坐标代入函数关系式可求解.(3)已知EF=a,易求出E点坐标以及ED的表示式.易求矩形CDEF的面积.【解析】(1)设抛物线的解析式为.把已知坐标代入解析式,求得a,b=0,c=0.故抛物线的解析式为.(2)∵CD=9,∴点E的横坐标为,则点E的纵坐标为∴点E的坐标为,因此要使货船能通过拱桥,则货船最大高度不能超过(米)(3)由EF=a,则E点坐标为,此时∴.巩固练习1.已知抛物线:的焦点坐标为,则的准线方程为(     )A. B.C. D.【答案】D【分析】由焦点坐标得,从而得准线方程.【详解】抛物线焦点坐标为,则,所以准线方程是.2.顶点在原点,关于轴对称,并且经过点的抛物线方程为(       )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据题意,设抛物线的方程为,进而待定系数求解即可.【详解】由题,设抛物线的方程为,因为在抛物线上,所以,解得,即所求抛物线方程为3.已知点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为,则该抛物线的准线方程为(       )A. B. C. D.【答案】B【分析】先求得抛物线标准方程,再去求其准线方程即可解决.【详解】抛物线的焦点,由,可得,不妨令则,解之得则抛物线方程为,其准线方程为4.如图是抛物线拱形桥,当水面在时,拱顶离水面,水面宽,若水面上升,则水面宽是(       )(结果精确到)(参考数值:)A. B. C. D.【答案】C【分析】先建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将点坐标代入抛物线方程求出m,从而可得抛物线方程,再令y=代入抛物线方程求出x,即可得到答案.【详解】如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,由题意,将代入x2=my,得m=,所以抛物线的方程为x2=,令y=,解得,所以水面宽度为2.24×817.9m.5.已知抛物线的焦点为F,点P在C上,且,若点M的坐标为,且,则抛物线C的方程为(       )A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【分析】设P为,根据和可求,由可求出p.【详解】设P为,则,又由,∴,∵,∴,∴,由,联立方程组,消去,可得,∴,故,又由,∴,即,解得或,∴C的方程为或.6.已知为抛物线上一点,点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为,则(       )A.1 B. C.2 D.3【答案】B【分析】先求出点的坐标,然后根据抛物线的定义和已知条件列方程求解即可【详解】因为为抛物线上一点,所以,得,所以,抛物线的焦点为,因为点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为,所以,化简得,因为,所以,7.已知抛物线,为坐标原点,以为圆心的圆交抛物线于、两点,交准线于、两点,若,,则抛物线方程为(       )A. B.C. D.【答案】C【分析】设圆的半径为,根据已知条件可得出关于的方程,求出正数的值,即可得出抛物线的方程.【详解】设圆的半径为,抛物线的准线方程为,由勾股定理可得,因为,将代入抛物线方程得,可得,不妨设点,则,所以,,解得,因此,抛物线的方程为.8.如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,,交其准线于点,准线与对称轴交于点,若,且,则此抛物线的方程为(       )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,结合三角形相似以及已知条件,求得,则问题得解.【详解】根据题意,过作垂直于准线,垂足为,过作垂直于准线,垂足为,如下所示:因为,又//,,则,故可得,又△△,,则,即,解得,故抛物线方程为:.9.如图,过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点,若且,则抛物线的方程为(       )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图根据抛物线定义可知,进而推断出的值,在直角三角形中求得,进而根据,利用比例线段的性质可求得,则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点,作准线的垂线,分别交准线于点,,设,则由已知得:,由定义得:,故,在直角三角形中,,,,,从而得,,,求得,所以抛物线的方程为.10.已知抛物线的焦点为F,过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,若弦的中点到抛物线准线的距离为3,则抛物线的方程为(       )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出直线,并与抛物线联立,得到,再根据抛物线的定义建立等式即可求解.【详解】因为直线l的方程为,即,由消去y,得,设,则,

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐