抛物线必会十大基本题型讲与练02抛物线的中点弦问题典例分析类型一、求中点弦的弦长1.已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于A,B两点,若第一象限内的点为线段的中点,则的长度为( )A.12 B.18 C.16 D.82.已知抛物线的焦点为,过且倾斜角为的直线交于A,两点,线段中点的纵坐标为,则( )A. B.4 C.8 D.243.已知A,B在抛物线上,且线段AB的中点为M(1,1),则|AB|=( )A.4 B.5C. D.类型二、求弦中点的坐标1.经过抛物线:的焦点作直线与抛物线相交于、两点.若,则线段的中点的纵坐标为( )A. B.3 C. D.42.已知抛物线的准线方程为,在抛物线上存在、两点关于直线对称,设弦的中点为,为坐标原点,则的值为__________.3.若、是抛物线上的不同两点,弦(不平行于轴)的垂直平分线与轴相交于点,则弦中点的横坐标为___________.4.已知直线l的抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点.(1)若直线AB的斜率为1,求点M的横坐标;(2)若,求点M纵坐标的最小值.类型三、求中点弦所在直线的斜率1.已知抛物线:,直线过点,且与抛物线交于,两点,若线段的中点恰好为点,则直线的斜率为( )A. B.2 C.3 D.2.已知抛物线的焦点为,过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点,过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点,若,则的斜率为( )A. B. C. D.3.直线与抛物线交于两点,且线段中点的横坐标为1,则的值为( )A.或 B. C. D.4.已知抛物线E:y2=8x.(1)求抛物线的焦点及准线方程;(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点,求直线l1的方程;(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A,B.若弦AB的中点为M,求直线l2的方程.巩固练习1.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,若,则线段的中点到y轴的距离为( )A.8 B.6 C.4 D.22.过点的直线与抛物线交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则( )A. B. C. D.3.定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,则M到y轴距离的最小值为( )A. B. C.2 D.4.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.5.(多选题)已知直线与抛物线交于两点,若线段的中点是,则( )A. B.C. D.点在以为直径的圆内6.(多选题)已知抛物线的焦点为F,准线为,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点作准线的垂线,垂足为,,P为线段的中点,O为坐标原点,则( )A.线段长度的最小值为4 B.为锐角C.A,O,三点共线 D.P的坐标可能为7.已知抛物线的焦点为F,过F作斜率为的直线与C交于两点,若线段中点的纵坐标为,则F到C的准线的距离为_______.8.已知为抛物线上的两点,,若,则直线的方程为_________.9.已知抛物线的准线方程为,在抛物线C上存在A、B两点关于直线对称,设弦AB的中点为M,O为坐标原点,则的值为___________.10.直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是___________.11.直线与抛物线交于,两点,若线段被点平分,则抛物线的准线方程为__________.12.已知抛物线经过点,直线经过点且与抛物线交于,两点.若线段的中点为,为抛物线的焦点,则的周长为______.13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为2,求k的值.14.已知抛物线的焦点为F,是抛物线C上在第一象限内的点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,若MN的中点坐标为,,求的面积.15.斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,且弦AB中点的纵坐标为2.(1)求抛物线C的标准方程;(2)已知点在抛物线C上,过点P作两条直线PM,PN分别交抛物线C于M,N(M,N不同于点P)两点,且的平分线与y轴垂直,求证:MN的斜率为定值.
抛物线必会十大基本题型专题02 抛物线的中点弦问题(原卷版)
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