抛物线必会十大基本题型讲与练03抛物线的焦点弦问题典例分析类型一、求焦点弦的弦长1.已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于A,B两点,若第一象限内的点为线段的中点,则的长度为( )A.12 B.18 C.16 D.82.设抛物线的焦点为F,A为抛物线上一点且A在第一象限,,现将直线绕点F逆时针旋转得到直线l,且直线l与抛物线交于C,D两点,则( )A.1 B. C.2 D.33.已知F是抛物线的焦点,抛物线C上的点满足,若在准线上的射影分别为,且的面积为5,则_______4.已知抛物线的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,的垂直平分线分别交l和x轴于P,Q两点.若,则__________.类型二、求焦点弦的所在直线的斜率1.已知抛物线,过焦点的直线l与C交于A,B两点,若以为直径的圆与C的准线切于点,则l的方程为( )A. B. C. D.2.已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点,过分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为,,若与的面积之比为4,则的值为( )A. B. C. D.3.设抛物线:的焦点为,过点作斜率为的直线与抛物线交于,两点,若,则( )A. B. C. D.4.(多选题)抛物线焦点为,直线经过点交于两点,交轴于点,若,则( )A.B.点的坐标为C.D.弦的中点到轴的距离为类型三、有焦点弦的最值问题1.已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线、,直线与交于A、B两点,直线与交于D、E两点,则的最小值为( )A. B. C. D.2.已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点,则最小值为( )A. B. C. D.3.已知抛物线的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于AB两点,且,则p的值为______.类型四、焦点与共线向量交汇问题1.已知点为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,且,则( )A. B. C. D.2.过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交,交点从左到右依次为A,B,C.若,则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3 B.4 C.5 D.6巩固练习1.直线过抛物线的焦点,且与交于两点,若使的直线有且仅有1条,则( )A. B. C.1 D.22.过抛物线:焦点且斜率为的直线与交于,两点,设满足,则为( )A. B.C. D.3.已知抛物线的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若,则以下结论错误的是( )A. B.C. D.4.抛物线:的焦点为,直线过点,斜率,且交抛物线于,(点在轴的下方)两点,抛物线的准线为,为坐标原点,作于,于,小明计算得出以下三个结论:①;②平分;③.其中正确的结论个数为( )A.0 B.1 C.2 D.35.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且A,B在其准线上的射影分别为A1,B1,则下列结论正确的是( )A.若直线l⊥x轴,则|AB|=2 B. C.y1·y2=-4 D.∠A1FB1=6.(多选题)已知抛物线,过焦点F作一直线l交抛物线于,两点,以下结论正确的有( )A.没有最大值也没有最小值 B.C. D.7.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线,为坐标原点,一条平行于轴的光线从点射入,经过上的点A反射后,再经上另一点反射后,沿直线射出,经过点.下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则平分C.若,则D.若,延长交直线于点,则,,三点共线8.已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点,则下列结论正确的是( )A.B.以为直径的圆与直线相切C.的最小值为D.的最小值为9.在平面直角坐标系中,过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点,则( )A.B.以为直径的圆与直线相切C.的最小值D.经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上10.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,为线段的中点,则( )A.以线段为直径的圆与直线相切B.以线段为直径的圆与轴相切C.当时,D.的最小值为11.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:的焦点为,过点的直线交于不同的,两点,则下列说法正确的是( )A.若点,则的最小值是4B.C.若,则直线的斜率为D.的最小值是912.已知直线过抛物线:的焦点,且直线与抛物线交于,两点,过,两点分别作抛物线的切线,两切线交于点,设,,.则下列选项正确的是( )A. B.以线段为直径的圆与直线相离C.当时, D.面积的取值范围为13.已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与相交于两点,若,则______________.14.已知抛物线的焦点为F,A为抛物线C上一点.以F为圆心,FA为半径的圆交抛物线C的准线于B,D两点,A,F,B三点共线,且,则______.15.已知抛物线:直线过抛物线的焦点与抛物线交于,两点,以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是,则直线的斜率___________.16.已知F是抛物线的焦点,过F的直线l与C交于A,B两点,线段中点的纵坐标为4,则________.18.如图所示,过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,交其准线于点,若,且,则=_______.17.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为坐标原点,记直线的斜率分别为,则______.18.已知抛物线C:上一点到焦点F的距离为2.(1)求实数p的值;(2)若直线l过C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且,求直线l的方程.19.如图,抛物线E:y2=2px的焦点为F,四边形DFMN为正方形,点M在抛物线E上,过焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点,交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点,求直线l的斜率;(2)若正方形DFMN的边长为1,直线MA,MB,MC的斜率分别为k1,k2,k3,则是否存在实数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.
抛物线必会十大基本题型专题03 抛物线的焦点弦问题(原卷版)
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